Calcolare questo limite
Dovrebbe essere semplice, eppure non ci riesco
$ \lim_{x \to 0} (cos x^{\frac{1}{sin x}}) $
PS c'è il vincolo di non usare De L'Hopital
$ \lim_{x \to 0} (cos x^{\frac{1}{sin x}}) $
PS c'è il vincolo di non usare De L'Hopital
Risposte
Prova a confrontarla con un'altra funzione. L'unico problema comunque risulta il limite di \(\displaystyle x^{\frac{1}{\sin{x}}} \)
ciao, non sono sicuro ma dovrebbe essere:
sin(x) equivalente a x, quindi
$\lim_{x \to \0}e^(1/xlogx) = 0$
quindi il coseno di zero è 1
Correggetemi se sbaglio!!
sin(x) equivalente a x, quindi
$\lim_{x \to \0}e^(1/xlogx) = 0$
quindi il coseno di zero è 1
Correggetemi se sbaglio!!
Si, dovrebbe essere giusto.
un solo grido: limiti notevoli.
si ha: $lim_(xto0)(cosx)^(1/sinx)$ forma del tipo $1^(oo)$. Allora cerchiamo di ricondurci ad un limite noto della stessa forma tipo $lim_(xto0)(1+x)^(1/x) = e$. Il limite di partenza è uguale a $lim_(xto0)(1+[cosx-1])^((1/(cosx-1))*((cosx-1)/(sinx))) = lim_(xto0)[(1+[cosx-1])^(1/(cosx-1))]^((cosx-1)/(sinx))$. Il limite dentro la grande quadra è proprio il limite noto che da come risultato $e$, basta chiamare ad esempio $t = cosx-1$ per accorgersene subito. Resta da valutare l'esponente $lim_(xto0)(cosx-1)/(sinx) = lim_(xto0)x/sinx*(cosx-1)/x = 1*0 = 0$, dove si sono usati i due limiti notevoli del seno e del coseno. Quindi il risultato è $e^0 = 1$.
EDIT: momento momento momento.... ma è tutto il coseno ad essere elevato alla $1/sinx$ o solo l'argomento?
se fosse solo l'argomento, come mi pare abbiate inteso voi, il limite sarebbe immediato in quanto $lim_(xto0) x^(1/sinx)$ è del tipo $0^(oo)$ che non è indeterminata.
si ha: $lim_(xto0)(cosx)^(1/sinx)$ forma del tipo $1^(oo)$. Allora cerchiamo di ricondurci ad un limite noto della stessa forma tipo $lim_(xto0)(1+x)^(1/x) = e$. Il limite di partenza è uguale a $lim_(xto0)(1+[cosx-1])^((1/(cosx-1))*((cosx-1)/(sinx))) = lim_(xto0)[(1+[cosx-1])^(1/(cosx-1))]^((cosx-1)/(sinx))$. Il limite dentro la grande quadra è proprio il limite noto che da come risultato $e$, basta chiamare ad esempio $t = cosx-1$ per accorgersene subito. Resta da valutare l'esponente $lim_(xto0)(cosx-1)/(sinx) = lim_(xto0)x/sinx*(cosx-1)/x = 1*0 = 0$, dove si sono usati i due limiti notevoli del seno e del coseno. Quindi il risultato è $e^0 = 1$.
EDIT: momento momento momento.... ma è tutto il coseno ad essere elevato alla $1/sinx$ o solo l'argomento?
se fosse solo l'argomento, come mi pare abbiate inteso voi, il limite sarebbe immediato in quanto $lim_(xto0) x^(1/sinx)$ è del tipo $0^(oo)$ che non è indeterminata.
Io ho ipotizzato lo fosse solo l'argomento, ma onestamente è venuto pure a me il dubbio
"pie_z91":
ciao, non sono sicuro ma dovrebbe essere:
sin(x) equivalente a x, quindi
$\lim_{x \to \infty}e^(1/xlogx) = 0$
quindi il coseno di zero è 1
Correggetemi se sbaglio!!
ma l'approssimazione sin(x) ~ x non è valida solo vicino all'origine?
il mio non è un'appunto, ma proprio una domanda
ho sbagliato a riscrivere il limite, ho scritto che tende a infinito. In realtà l'originale tende a zero, correggo subito.
"Covenant":
EDIT: momento momento momento.... ma è tutto il coseno ad essere elevato alla $1/sinx$ o solo l'argomento?
se fosse solo l'argomento, come mi pare abbiate inteso voi, il limite sarebbe immediato in quanto $lim_(xto0) x^(1/sinx)$ è del tipo $0^(oo)$ che non è indeterminata.
E' tutto il coseno
"masteryuri":
[quote="Covenant"]
EDIT: momento momento momento.... ma è tutto il coseno ad essere elevato alla $1/sinx$ o solo l'argomento?
se fosse solo l'argomento, come mi pare abbiate inteso voi, il limite sarebbe immediato in quanto $lim_(xto0) x^(1/sinx)$ è del tipo $0^(oo)$ che non è indeterminata.
E' tutto il coseno[/quote]
come pensavo. Quindi il procedimento che ho postato più su è quello giusto evitando di ricorrere al teorema del marchese.
Perfetto, ringrazio tutti 
"Mattz":
ma l'approssimazione sin(x) ~ x non è valida solo vicino all'origine?
il mio non è un'appunto, ma proprio una domanda
Ma sta calcolando il limite che tende a 0... Quindi che problema c'é? Comunque si, solo nell'origine.
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