Calcolare punti di massimo e minimo relativo funzione a tre variabili

[alessre]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Sia

[math]f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}[/math]

la funzione

[math]f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+xyz[/math]

Calcolare eventuali punti di massimo e minimo relativo di f nel suo dominio.

spero mi possiate aiutare.
grazie.

[mc2]

Innanzi tutto la funzione non e` definita nei piani cooridinati x=0, y=0 e z=0, quindi il dominio non puo` essere R_3.


Calcoliamo le derivate parziali

[math]f'_x=-\frac{1}{x^2}+yz[/math]

[math]f'_y=-\frac{1}{y^2}+xz[/math]

[math]f'_z=-\frac{1}{z^2}+xy[/math]

Troviamo i punti in cui si annulla il gradiente:

[math]\left\{
\begin{array}[c]{l}
\frac{1}{x^2}=yz \\
\frac{1}{y^2}=xz \\
\frac{1}{z^2}=xy \\
\end{array}\right.
[/math]

Moltiplicando membro a membro le tre equazioni:

[math]\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^2y^2z^2[/math]

[math](x^2y^2z^2)^2=1[/math]

cioe`

[math]xyz=\pm 1[/math]

Sostituendo

[math]yz=\pm\frac{1}{x}[/math]

nella prima delle tre equazioni si ha

[math]x=\pm 1[/math]

(x=0 non e` accettabile)

Analogamente si trova

[math]y=\pm 1[/math]

,

[math]z=\pm 1[/math]

I punti in cui il gradiente si annulla sono i seguenti

A(1,1,1), B(1,1,-1), C(1,-1,1), D(1,-1,-1),
E(-1,1,1), F(-1,1,-1), G(-1,-1,1), H(-1,-1,-1)


La matrice Hessiana e`

[math]H(x,y,z)=\left(
\begin{array}[c]{c c c}
\frac{2}{x^2} &z & y \\
z & \frac{2}{y^2} & x \\
y & x & \frac{2}{z^2} \\
\end{array}\right)
[/math]

e calcolata nel punto A diventa :

[math]H(1,1,1)=\left(
\begin{array}[c]{c c c}
2 &1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{array}\right)[/math]

I suoi autovalori sono 1 (doppio) e 4: sono tutti stettamente positivi quindi A e` un punto di minimo relativo


In modo analogo si procede a studiare gli altri punti critici.

[alessre]

scusami,
ma mi potresti mostrare come hai calcolato le derivate parziali prime.
Inoltre vorrei sapere come valutare i punti con gli autovalori.
se per favore me li potresti spiegare.
grazie.

[mc2]

La derivata

[math]f'_x[/math]

si fa calcolando la derivata di f rispetto a x, considerando y e z costanti. E` una derivata elementare normalissima, basta ricordarsi le derivate fondamentali.

Per studiare i punti con gli autovalori devi riguardarti la teoria delle funzioni a piu` variabili: se non sai la teoria non puoi pretendere di riuscire a fare gli esercizi!

In breve: se gli autovalori di H sono tutti (strettamente) positivi, si ha un punto di minimo relativo.

Se gli autovalori di H sono tutti (strettamente) negativi si ha un punto di massimo relativo.

Se H ha almeno un autovalore (strettamente) positivo, e uno (strettamente)
negativo si ha un punto di sella

In altri casi: il test della matrice hessiana non e` conclusivo e bisogna ricorrere ad altri metodi.


Ripeto: qui ci vuole una solida dose di teoria!

[alessre]

va bene.
grazie mille.