Calcolare ordine di infinitesimo..sto diventando pazzo
Salve a tutti,
sto preparando un esame di analisi matematica, premetto che ho capito cosa sia un infinitesimo almeno a livello teorico ma non riesco a risolvere alcun esercizio, non ho la minima idea di come approcciarmi e non sto più capendo nulla...sarà il pessimo libro e materiale che si trova sull'argomento
dunque,
ho bisogno di capire come approcciare a questo esercizio:
Determinare ordine di infinitesimo e parte principale di:
1) $root(3)((5*x^2)/(x+1))$ per x$rarr$0 rispetto al campione x
2) $x^5+sin^3(x)*sqrt(x)$ per x$rarr$0 rispetto al campione x
ora per definizione
$\lim_{x \to \x_0}(f(x))/(g(x)^a)=l>0$ con in questo caso $g(x)=x$
è evidente che io debba trovare il valore di $a$ che rappresenta l'ordine rispetto al campione, ma come? non ho proprio idea di come impostare l'esercizio, lo svolgimento insomma...ho le soluzioni, ma non i passi e sono davvero bloccato da 2 giorni, intuisco che la soluzione sia corretta perché a occhio riesco a capire l'ordine dei polinomi ma non saprei proprio cosa scrivere
se qualcuno può aiutarmi mi sarebbe di grande aiuto grazie 
sto preparando un esame di analisi matematica, premetto che ho capito cosa sia un infinitesimo almeno a livello teorico ma non riesco a risolvere alcun esercizio, non ho la minima idea di come approcciarmi e non sto più capendo nulla...sarà il pessimo libro e materiale che si trova sull'argomento
dunque,
ho bisogno di capire come approcciare a questo esercizio:
Determinare ordine di infinitesimo e parte principale di:
1) $root(3)((5*x^2)/(x+1))$ per x$rarr$0 rispetto al campione x
2) $x^5+sin^3(x)*sqrt(x)$ per x$rarr$0 rispetto al campione x
ora per definizione
$\lim_{x \to \x_0}(f(x))/(g(x)^a)=l>0$ con in questo caso $g(x)=x$
è evidente che io debba trovare il valore di $a$ che rappresenta l'ordine rispetto al campione, ma come? non ho proprio idea di come impostare l'esercizio, lo svolgimento insomma...ho le soluzioni, ma non i passi e sono davvero bloccato da 2 giorni, intuisco che la soluzione sia corretta perché a occhio riesco a capire l'ordine dei polinomi ma non saprei proprio cosa scrivere
se qualcuno può aiutarmi mi sarebbe di grande aiuto grazie
Risposte
Due infinitesimi $f(x)$ e $g(x)$ sono dello stesso ordine o grado se esiste ed è finito
$lim_{x \to \0}f(x)/g(x)=l$, essendo $l>0$.
Il procedimento consiste nel rapportare l'infinitesimo dato con un infinitesimo campione: consideriamo come infinito campione $x^\alpha$. Trovando dei valori di $\alpha$ tali che il limite sia finito e maggiore di zero, significherebbe trovare che l'ordine di infinitesimo dell'infinitesimo dato coincide, in questo caso, con $\alpha$.
Per quanto riguarda il primo esercizio, potresti procedere facendo il limite in rapporto al campione:
$lim_{x \to \0}root(3)((5x^2)/(x+1))\frac{1}{x^\alpha}$.
Ma questo limite si potrebbe scrivere così:
$lim_{x \to \0}(root(3)(5)*root(3)(x^2))/((x^\alpha)root(3)(x+1)) = root(3)(5)lim_{x \to \0}(x^(2/3-\alpha))/root(3)(x+1) $.
Questo limite è finito e maggiore di zero, essendo $x->0$, solo se $\alpha=2/3$.
Di conseguenza l'ordine di infinitesimo dell'infinitesimo dato è $2/3$.
Nota che in realtà non è proprio così, poichè il limite per $x->0$ non esiste, ma esisterebbe invece il limite per $x->0^+$, oppure il limite per $x->0^-$. Quindi possiamo dire che la funzione in questione ha ordine $2/3$ solo se consideriamo l'intorno positivo (negativo) di zero.
Per il secondo esercizio, posta qualche tentativo
$lim_{x \to \0}f(x)/g(x)=l$, essendo $l>0$.
Il procedimento consiste nel rapportare l'infinitesimo dato con un infinitesimo campione: consideriamo come infinito campione $x^\alpha$. Trovando dei valori di $\alpha$ tali che il limite sia finito e maggiore di zero, significherebbe trovare che l'ordine di infinitesimo dell'infinitesimo dato coincide, in questo caso, con $\alpha$.
Per quanto riguarda il primo esercizio, potresti procedere facendo il limite in rapporto al campione:
$lim_{x \to \0}root(3)((5x^2)/(x+1))\frac{1}{x^\alpha}$.
Ma questo limite si potrebbe scrivere così:
$lim_{x \to \0}(root(3)(5)*root(3)(x^2))/((x^\alpha)root(3)(x+1)) = root(3)(5)lim_{x \to \0}(x^(2/3-\alpha))/root(3)(x+1) $.
Questo limite è finito e maggiore di zero, essendo $x->0$, solo se $\alpha=2/3$.
Di conseguenza l'ordine di infinitesimo dell'infinitesimo dato è $2/3$.
Nota che in realtà non è proprio così, poichè il limite per $x->0$ non esiste, ma esisterebbe invece il limite per $x->0^+$, oppure il limite per $x->0^-$. Quindi possiamo dire che la funzione in questione ha ordine $2/3$ solo se consideriamo l'intorno positivo (negativo) di zero.
Per il secondo esercizio, posta qualche tentativo
"Demostene92":
Due infinitesimi $f(x)$ e $g(x)$ sono dello stesso ordine o grado se esiste ed è finito
$lim_{x \to \0}f(x)/g(x)=l$, essendo $l>0$.
Beh no, $l$ può essere negativo, semplicemente $lim_{x \to \0}f(x)/g(x)=l$, essendo $l \ne 0$
Esempio banale:
$\lim_{x \to 0} x/(x^2-x)=-1 < 0$
Sì, hai ragione volevo scrivere $!=$ invece che $>$, ma ho avuto una defaillance. 
grazie davvero per la risposte, domani riprovo con calma e provo anche il secondo esercizio,
per ora grazie mille
per ora grazie mille
dunque,
il primo esercizio l'ho capito e so come impostare i futuri e per questo vi ringrazio enormemente
sul primo esercizio ma anche sugli altri che ho mi chiede anche la parte principale 
che non so cosa sia del primo esercizio sarebbe:
$root(3)(5*x^2)$
qualcuno mi illumina?
nonostante abbia comunque capito come impostare un esercizio, non riesco a farne nemmeno uno
sarà il caldo ma proprio non ci arrivo...dunque ho da calcolare ordine di infinitesimo e parte principale di:
$x^5+sin^3(x)*sqrt(x)$ con $x rarr 0$ rispetto al campione $x$
io ho così impostato quindi
$lim_{x \to \0} (x^5+sin^3(x)*sqrt(x))/x^a$
sono arrivato a riscrivere il tutto come
$lim_{x \to \0} x^5/x^a+(1/4*(3*sqrt(x)*sin(x)-sqrt(x)*sin(3*x)))/x^a$
ora però se x tende a zero qui mi si annulla tutto...dove sbaglio? devo riscrivere il seno utilizzando Taylor magari?
scusate gli errori e l'ignoranza ma non riesco a trovare nulla su questo argomento, omeglio su esercizi svolti ne online ne sui libri
il primo esercizio l'ho capito e so come impostare i futuri e per questo vi ringrazio enormemente
sul primo esercizio ma anche sugli altri che ho mi chiede anche la parte principale che non so cosa sia del primo esercizio sarebbe:$root(3)(5*x^2)$
qualcuno mi illumina?
nonostante abbia comunque capito come impostare un esercizio, non riesco a farne nemmeno uno
sarà il caldo ma proprio non ci arrivo...dunque ho da calcolare ordine di infinitesimo e parte principale di:$x^5+sin^3(x)*sqrt(x)$ con $x rarr 0$ rispetto al campione $x$
io ho così impostato quindi
$lim_{x \to \0} (x^5+sin^3(x)*sqrt(x))/x^a$
sono arrivato a riscrivere il tutto come
$lim_{x \to \0} x^5/x^a+(1/4*(3*sqrt(x)*sin(x)-sqrt(x)*sin(3*x)))/x^a$
ora però se x tende a zero qui mi si annulla tutto...dove sbaglio? devo riscrivere il seno utilizzando Taylor magari?
scusate gli errori e l'ignoranza ma non riesco a trovare nulla su questo argomento, omeglio su esercizi svolti ne online ne sui libri
up 
1) Si era visto che $f(x)=((5x^2)/(x+1))^(1/3) $ è infinitesimo di ordine $2/3$ per $ x rarr 0 $. Inoltre $lim_(x rarr 0) f(x)/(x^(2/3)) = 5^(1/3)$ cioè il limite è finito, non nullo e vale $5^(1/3)$. Scrivendo l'uguaglianza fuori dal segno di limite si pone $f(x)/(x^(2/3)) = 5^(1/3) +alpha(x) $ essendo $alpha(x)$ un infinitesimo per $x rarr 0 $. Ne segue che : $f(x)= 5^(1/3)*x^(2/3) +alpha(x)*x^(2/3)$. La quantità $ 5^(1/3)*x^(2/3) $ è detta parte principale dell'infinitesimo $ f(x)$ ed è quella che meglio approssima $f(x) $ nell'intorno di $x=0 $. A dire che se fai il grafico di $f(x) $ e di $ 5^(1/3)*x^(2/3) $ e vai a vedere come si comportano nell'intorno di $x=0 $ sono molto molto vicini.
2) $f(x)=x^5+sin^3(x)*sqrt(x) $ sempre per $x rarr 0 $ è infinitesimo di che ordine e con quale parte principale ? Non ho capito cosa hai fatto... no spezzare la frazione.
Considera che per $x rarr 0 $ $sin x $ è asintotico a $x $-sviluppo di Mc Laurin al primo ordine e quindi $sin^3x*sqrt(x)$ è asintotico a $x^(7/2)$.
Calcoliamo l'ordine di infinitesimo $lim_( xrarr 0) ( x^5+x^(7/2))/(x^a) = $ numero finito e diverso da $0 $ se $a = 7/2$ avendo trascurato $x^5 $ infinitesimo di ordine superiore.
Quindi $f(x) $ è infinitesima di ordine $7/2$ e la sua parte principale sarà $ x^(7/2) $ essendo $1 $ il valore del limite sopra indicato.
Considera che per $x rarr 0 $ $sin x $ è asintotico a $x $-sviluppo di Mc Laurin al primo ordine e quindi $sin^3x*sqrt(x)$ è asintotico a $x^(7/2)$.
Calcoliamo l'ordine di infinitesimo $lim_( xrarr 0) ( x^5+x^(7/2))/(x^a) = $ numero finito e diverso da $0 $ se $a = 7/2$ avendo trascurato $x^5 $ infinitesimo di ordine superiore.
Quindi $f(x) $ è infinitesima di ordine $7/2$ e la sua parte principale sarà $ x^(7/2) $ essendo $1 $ il valore del limite sopra indicato.
gentile Camillo ti ringrazio moltissimo per le risposte, tutto quadra ora e penso di aver capito, vedremo con i prossimi esercizi se riscontro difficoltà,
in ogni caso grazie ancora, siete (voi del forum) più chiari di tutti i miei libri di analisi messi insieme
in ogni caso grazie ancora, siete (voi del forum) più chiari di tutti i miei libri di analisi messi insieme
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo