Calcolare l'integrale curvilineo

[TheSnatch]

Salve a tutti,
mi sono imbattuto in questo esercizio dove la consegna richiede di risolvere l'integrale curvilineo sia con metodo dei residui sia direttamente. Con il metodo dei residui non ho avuto problemi, mentre con la risoluzione diretta non ho idea di come cominciare.
Quindi disperatamente chiedo aiuto a tutti voi della community sperando di trovare una risposta al mio interrogativo. Vi ringrazio sempre in anticipo e soprattutto per il tempo che dedicherete anche al sol leggere l'integrale

$int_gamma (5+2i)/((z-5)(z+i))dz$ dove $gamma$ è il rettangolo avente i punti $A(-2,2),B(6,2),C(6,-2),D(-2,-2)$

[Studente Anonimo]

Se, nel corso della risoluzione diretta, si intende calcolare solo integrali di funzioni reali di variabile reale, si dovrebbe procedere come segue:

Tratto AB

$[z=t+2i] ^^ [dz=dt] rarr$

$rarr \int_{-2}^{6}(5+2i)/((t-5+2i)(t+3i))dt=$

$=(5+2i)\int_{-2}^{6}((t-5-2i)(t-3i))/((t^2-10t+29)(t^2+9))dt=$

$=(5+2i)[\int_{-2}^{6}(t^2-5t-6)/((t^2-10t+29)(t^2+9))dt-5i\int_{-2}^{6}(t-3)/((t^2-10t+29)(t^2+9))dt]$

Vista la mole di conti, non credo sia il caso. Se, viceversa, si intende calcolare anche integrali di funzioni complesse di variabile reale, si può integrare direttamente:

Tratto AB

$[z=t+2i] ^^ [dz=dt] rarr$

$rarr \int_{-2}^{6}(5+2i)/((t-5+2i)(t+3i))dt=$

$=(27/26+5/26i)[\int_{-2}^{6}1/(t-5+2i)dt-\int_{-2}^{6}1/(t+3i)dt]=$

$=(27/26+5/26i)[ln(1+2i)-ln(-7+2i)-ln(6+3i)+ln(-2+3i)]$

[TheSnatch]

Grazie mille per la tempestività e per la risposta, le sono molto grato.

Riguardo l'integrale devo reiterare il calcolo diretto per i tratti BC-CD-DA e poi sommare tutti i risultati, corretto?

[Studente Anonimo]

"TheSnatch":
... devo reiterare il calcolo diretto per i tratti ...

Certamente. Tuttavia, una volta compreso il procedimento, non ne vedo molto l'utilità. Al netto della soddisfazione che si possa provare nel verificare che i due metodi forniscono lo stesso risultato.