Calcolare limite
Salve,
Sto cercando di risolvere questo limite con l'unico strumento che conosco, i limiti notevoli
(devo ancora studiare hopital taylor ecc... il corso di analisi mi inizia a settembre)
$lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3)$
Ho usato prima $lim_(x->0)ln(1+x)/x=1$ e poi $lim_(x->0)sinx/x=1$
Alla fine dell'esercizio mi resta $1/x^3$
Allora ho ragionato così, se vengo da $0^+$ fa $+\infty$ e se vengo da $0^-$ fa $-\infty$ perciò il limite non esiste?
però il risultato dell'esercizio è 1... cosa ho sbagliato?
Sto cercando di risolvere questo limite con l'unico strumento che conosco, i limiti notevoli
(devo ancora studiare hopital taylor ecc... il corso di analisi mi inizia a settembre)
$lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3)$
Ho usato prima $lim_(x->0)ln(1+x)/x=1$ e poi $lim_(x->0)sinx/x=1$
Alla fine dell'esercizio mi resta $1/x^3$
Allora ho ragionato così, se vengo da $0^+$ fa $+\infty$ e se vengo da $0^-$ fa $-\infty$ perciò il limite non esiste?
però il risultato dell'esercizio è 1... cosa ho sbagliato?
Risposte
Stai usando i limiti notevoli giusti, ma in modo errato. Se hai fatto i calcoli bene, al posto del seno va sostituito $x^2$ e quindi al posto di $\ln(1+x^2)$ di nuovo $x^2$. Pertanto hai il seguente limite alla fine
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2+x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2(1+x)}=\lim_{X\to 0}\frac{1}{1+x}=1$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2+x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2(1+x)}=\lim_{X\to 0}\frac{1}{1+x}=1$$
Ma quindi il mio moltiplicare sopra e sotto per $sin(x^2)$ non va bene? Però non capisco perché...
$lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3) => lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3)*sin(x^2)/sin(x^2) => lim_(x->0)sin(x^2)/(x^2+x^3)$
$lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3) => lim_(x->0)ln(1+sin(x^2))/(x^2+x^3)*sin(x^2)/sin(x^2) => lim_(x->0)sin(x^2)/(x^2+x^3)$
Ciao! Mi inserisco nella discussione.
Fondamentalmente sì, va bene. Però adesso immagina di moltiplicare e dividere per $x^2$ per applicare il limite notevole sul seno. Ti ritrovi al punto spiegato da ciampax...raccogli $x^2$ ed è fatta
Fondamentalmente sì, va bene. Però adesso immagina di moltiplicare e dividere per $x^2$ per applicare il limite notevole sul seno. Ti ritrovi al punto spiegato da ciampax...raccogli $x^2$ ed è fatta
"nick_10":
Ciao! Mi inserisco nella discussione.
Fondamentalmente sì, va bene. Però adesso immagina di moltiplicare e dividere per $x^2$ per applicare il limite notevole sul seno. Ti ritrovi al punto spiegato da ciampax...raccogli $x^2$ ed è fatta
Grazie Nick...
Io al passo successivo non moltiplicavo sopra e sotto per $x^2$ ma usavo l'$x^2$ già a denominatore...
$lim_(x->0)sin(x^2)/(x^2+x^3)$
Se ho capito bene il mio errore non posso farlo perchè è un polinomio invece che un monomio?
Se mi chiarisci questo ti faccio una statua.
Puoi farlo, e ti rimane questo:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot\frac{1}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot\frac{1}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$$
ok, io non raccoglievo x^2... insomma quello che sbagliavo è che "spaccavo il polinomio" a denominatore, cioè lo trattavo come un monomio... (non so come spiegarmi).
grazie a entrambi per l'aiuto!
grazie a entrambi per l'aiuto!
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