Calcolare $lim_(x->o^+) x^sinx$

[BoG3]

Ciao a tutti, vorrei farvi una domanda: ho questo esercizio: $lim_(x->0^+) x^sinx$, il risultato è $1$.

io ho provato a farlo così:

$lim_(x->0^+) x^sinx$ = $lim_(x->0^+) e^(log(x^sinx))$ = $lim_(x->0^+) e^(sinx*logx)$

a questo punto ho detto: conosco il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x = 1$, poi conosco anche $lim_(x->0) logx/x = 1$ e per arrivarci potrei fare così:
- moltiplico sotto e sopra per $x$ e ottengo:

$lim_(x->0^+) e^((sinx*logx)* x/x)$ = $lim_(x->0^+) e^((sinx/x*logx/x)*x)$ ora devo ottenere $log(1+x)/x$ l posto di $logx/x$
- sommo e sottraggo 1 sopra nel logaritmo e poi sottraggo ancora 1 sopra e sotto a $logx/x$ ed ottengo:

$lim_(x->0^+) e^((sinx/x*log(x+1-1)/x)*x)$ = $lim_(x->0^+) e^((sinx/x*log(1+(x-1))/(x-1) -1)*x)$ = $lim_(x->0^+) e^((sinx/x*log(1+(x-1))/(x-1) -1)*x)$

- ora inserendo dentro i valori x i limiti notevoli ho:

$lim_(x->0^+) e^((1*1 -1)*x)$ = $e^0 = 1$ .

E' giusto il ragionamento che ho fatto? Grazie!

[ciampax]

Secondo te

[tex]$\frac{\log(x+1-1)}{x}=\frac{\log(1+(x-1))}{x-1}-1$[/tex]????