Calcolare le coordinate del baricentro nello spazio
siano R e H costanti positive assegnate. Calcolare le coordinate del baricentro b del solido S definito da : $ S={(x,y,z):y^2+z^2<=x^2+R^2; 0<=x<=H} $ , sapendo che la densità di massa in S è costante. In particolare calcolare le coordinate per R=0 e $ lim_(R -> +oo ) b $...
essendo un tronco di cono simmetrico attorno all'asse x, lunica coordinata non nulla del baricentro sarà proprio quella in x.
per tanto ho impostato il seguente integrale.
$ bx=int_(0)^(H) int_(0)^(2pi) int_(R)^(sqrt(H^2+R^2) ) (r) dr dvartheta dx $
in questo modo ottengo bx=H/2 che mi sembra strano come risultato in quanto non stiamo parlando di un cilindro. Inoltre non mi dipende da R e quindi non saprei come proseguire l'esercizio.... Grazie in anticipo a chi saprà illuminarmi
essendo un tronco di cono simmetrico attorno all'asse x, lunica coordinata non nulla del baricentro sarà proprio quella in x.
per tanto ho impostato il seguente integrale.
$ bx=int_(0)^(H) int_(0)^(2pi) int_(R)^(sqrt(H^2+R^2) ) (r) dr dvartheta dx $
in questo modo ottengo bx=H/2 che mi sembra strano come risultato in quanto non stiamo parlando di un cilindro. Inoltre non mi dipende da R e quindi non saprei come proseguire l'esercizio.... Grazie in anticipo a chi saprà illuminarmi
Risposte
Perdonami ma non mi torna: per prima cosa devi calcolare la massa del solido, e questa, essendo la densità omogenea, sarà pari a $M=\int\int\int_S dx\ dy\ dz$. Usando il cambiamento di coordinate cilindriche, possiamo porre
$$x=x,\quad y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta$$
da cui $r^2\le x^2+R^2,\ 0\le x\le H$ e pertanto, visto che dalla prima condizione si ricava $0\le r\le \sqrt{x^2+R^2}$
$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^H\int_0^{\sqrt{x^2+R^2}} r\ dr\ dx\ d\theta=2\pi\int_0^H\int_0^{\sqrt{x^2+R^2}} r\ dr\ d\theta=2\pi\int_0^H \frac{x^2+R^2}{2}\ dx=\pi\left(\frac{H^3}{3}+R^2 H\right)$$
Come vedi, quello che hai calcolato tu, tra l'altro male, è il volume del solido (che, tra parentesi, non è un tronco di cono: se proietti nel piano $xOy$, ad esempio, puoi verificare che la curva che delinea il bordo è $y^2-x^2=R^2$, cioè una iperbole equilatera, per cui hai a che fare con un iperboloide rotondo con asse coincidente con l'asse $x$).
Per il calcolo del baricentro (l'unica cosa che hai detto giusta: avrà coordinate $B(x_B,0,0)$) devi calcolare il seguente integrale:
$$x_B=\frac{1}{M}\int\int\int_S x\ dx\ dy\ dz$$
Usa di nuovo le coordinate cilindriche e le limitazioni precedenti, non dovrebbe essere difficile.
$$x=x,\quad y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta$$
da cui $r^2\le x^2+R^2,\ 0\le x\le H$ e pertanto, visto che dalla prima condizione si ricava $0\le r\le \sqrt{x^2+R^2}$
$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^H\int_0^{\sqrt{x^2+R^2}} r\ dr\ dx\ d\theta=2\pi\int_0^H\int_0^{\sqrt{x^2+R^2}} r\ dr\ d\theta=2\pi\int_0^H \frac{x^2+R^2}{2}\ dx=\pi\left(\frac{H^3}{3}+R^2 H\right)$$
Come vedi, quello che hai calcolato tu, tra l'altro male, è il volume del solido (che, tra parentesi, non è un tronco di cono: se proietti nel piano $xOy$, ad esempio, puoi verificare che la curva che delinea il bordo è $y^2-x^2=R^2$, cioè una iperbole equilatera, per cui hai a che fare con un iperboloide rotondo con asse coincidente con l'asse $x$).
Per il calcolo del baricentro (l'unica cosa che hai detto giusta: avrà coordinate $B(x_B,0,0)$) devi calcolare il seguente integrale:
$$x_B=\frac{1}{M}\int\int\int_S x\ dx\ dy\ dz$$
Usa di nuovo le coordinate cilindriche e le limitazioni precedenti, non dovrebbe essere difficile.
ti ringrazio....
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