Calcolare l'area di un dominio...
...la cui frontiera è la curva di equazioni parametriche x=1-cos(t),
y=(t^2)(pigreco-t) con t appartenente [0,pigreco]
ciao
y=(t^2)(pigreco-t) con t appartenente [0,pigreco]
ciao
Risposte
io mi sono bloccato, e non riesco ad andare avanti....
Esprimiamo la curva con un'equazione del tipo y = f(x) e per
farlo ricaviamo t dalla prima equazione e sostituiamo t in
funzione di x nella seconda. Poiché t € [0 ; pi] e il coseno
è invertibile proprio in questo intervallo, possiamo tranquillamente
scrivere: t = arccos(1 - x) e così sostituendo nella seconda abbiamo:
y = (arccos(1 - x))^2*(pi - arccos(1 - x))
Si tratta di una curva chiusa che seca l'asse x nell'origine e in (2 ; 0).
L'area richiesta è dunque uguale all'integrale tra 0 e 2 di y in dx , e vale: 2*pi
farlo ricaviamo t dalla prima equazione e sostituiamo t in
funzione di x nella seconda. Poiché t € [0 ; pi] e il coseno
è invertibile proprio in questo intervallo, possiamo tranquillamente
scrivere: t = arccos(1 - x) e così sostituendo nella seconda abbiamo:
y = (arccos(1 - x))^2*(pi - arccos(1 - x))
Si tratta di una curva chiusa che seca l'asse x nell'origine e in (2 ; 0).
L'area richiesta è dunque uguale all'integrale tra 0 e 2 di y in dx , e vale: 2*pi
quote:
Originally posted by fireball
Si tratta di una curva chiusa che seca l'asse x nell'origine e in (2 ; 0).
L'area richiesta è dunque uguale all'integrale tra 0 e 2 di y in dx , e vale: 2*pi
perfetto fino a qui:cioè mi trovo.
come hai fatto a dire queste ultime due affermazioni?
Beh, per sapere come è fatto il grafico devi fare
ovviamente uno studio di funzione... Il grafico è il seguente:
Il calcolo dell'integrale è un po' lungo e richiede di
integrare per parti un po' di volte...
ovviamente uno studio di funzione... Il grafico è il seguente:
Il calcolo dell'integrale è un po' lungo e richiede di
integrare per parti un po' di volte...
scusate se mi intrometto, ma Bandit studi analisi 2?
se si, ti conviene utilizzare la formula di Gauss-Green.
il procedimento di fireball porta a calcolare un integrale molto complicato.
se si, ti conviene utilizzare la formula di Gauss-Green.
il procedimento di fireball porta a calcolare un integrale molto complicato.
Più che complicato è lungo da calcolare...
In ogni caso, Alessandro, io ho cercato di fare
del mio meglio con le misere conoscenze di un EX studente
di liceo scientifico PNI... [:)]
In ogni caso, Alessandro, io ho cercato di fare
del mio meglio con le misere conoscenze di un EX studente
di liceo scientifico PNI... [:)]
quello che ho detto non è una critica a quello che hai fatto,
è solo che se Bandit fa analisi 2,gli conviene applicare gli
strumenti che ha studiato.
io ho cercato di dare soltanto un consiglio, sperando di non dire
cavolate, visto che sono laureato soltanto in scienze statistiche ed economiche e quindi di matematica ne so un po pochina.
è solo che se Bandit fa analisi 2,gli conviene applicare gli
strumenti che ha studiato.
io ho cercato di dare soltanto un consiglio, sperando di non dire
cavolate, visto che sono laureato soltanto in scienze statistiche ed economiche e quindi di matematica ne so un po pochina.
dalla formula di Gauss-Green segue che l'area racchiusa dalla curva gamma è:
Area= +- integrale su gamma di xdy
dove il segno + o - va scelto a seconda di come è orientata gamma,
comunque poichè un'area è positiva puoi lasciare sempre il segno +,
se il risultato finale è negativo basterà cambiarlo di segno.
quindi si ha:
Area=int tra 0 e Pi di (1-cos(t))*d[(t^2)(pigreco-t)]=
int tra 0 e Pi di (1-cos(t))*(2Pi t-3t^2]dt
Area= +- integrale su gamma di xdy
dove il segno + o - va scelto a seconda di come è orientata gamma,
comunque poichè un'area è positiva puoi lasciare sempre il segno +,
se il risultato finale è negativo basterà cambiarlo di segno.
quindi si ha:
Area=int tra 0 e Pi di (1-cos(t))*d[(t^2)(pigreco-t)]=
int tra 0 e Pi di (1-cos(t))*(2Pi t-3t^2]dt
la d sta per derivata di quello che sta in parentesi?mi riferisco a questo pezzo d[(t^2)(pigreco-t)]
la d sta per differenziale, df(x)=f'(x)dx
no ho capito se conosci la formula di Gauss-Green
quindi mi hai fatto un passagio? cioè alla fine si ha area=int tra 0 e Pi di (1-cos(t))*(2Pi t-3t^2]dt
ho capito bene?
ho capito bene?
si
ok grazie 10000
con la formula di gauss-green l'integrale è sicuramente più veloce da calcolare, anche perchè l'esercizio postato da bandit è un esercizio di analisi2 e quindi da risolvere con i metodi dell'analisi2 cioè con la formula di gauss-green..
comunque ho provato a fare i calcoli e l'integrale vale: 2Pi
esatto? torna anche a voi questo risultato?
ciao
Ale7
comunque ho provato a fare i calcoli e l'integrale vale: 2Pi
esatto? torna anche a voi questo risultato?
ciao
Ale7
Sì, io l'ho fatto con i miei macchinosi e lunghi metodi
da ex studente di liceo scientifico, ma nonostante ciò,
viene correttamente 2*pi [:)] ...
da ex studente di liceo scientifico, ma nonostante ciò,
viene correttamente 2*pi [:)] ...
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