Calcolare la sommatoria

[andy4649]

Calcolare la sommatoria $ sum^(infty) (2k + 1)x^(2k) $ con k=1 sotto il simbolo della sommatoria

[Luca.Lussardi]

Prova a vedere quanto e' la derivata di $x^{2k+1}$...

[andy4649]

Quindi la formula della sommatoria fino a n per k iniziale = 0 di $ (x^(2k+1))' = (2k+1)x^(2k) $ si ottiene derivando la formula della stessa sommatoria di $ x^(2k+1) $, e questa si ottiene moltiplicando x alla formula di $ x^(2k) $, e questa si ottiene elevando al quadrato la x nella formula di $ x^k $. Una volta ottenuta la sommatoria fino a n per k iniziale = 0, la sommatoria per k iniziale = 1 è uguale alla precedente meno il primo termine, e il limite di quest' ultima sommatoria per n --> infinito corrisponde per definiziona alla sommatoria infinita per k=1 di $ (2k+1)x^(2k) $, che è ciò che stavamo cercando.
Oppure c'è un altro metodo?
Una domanda: col metodo da me sopra descritto mi esce un limite per n --> infinito di una funzione di n in funzione di x. Cioè mi esce $ sum^(infty) (2k +1)x^(2k) = lim_(n -> infty) (1-(2n+3)x^(2n+2))/(x-x^3)-((1-3x^2)(x-x^(2n+3)))/((x-x^3)^2)-2x-1 $. E' valido uguagliare quest'ultimo limite alla funzione di x sostituendo n per $ infty $? E poi operare con $ infty $? Facendo che $ sum^(infty) (2k+1)x^(2k) = (1-inftyx^infty)/(x-x^3)-((1-3x^2)(x-x^infty))/(x-x^3)-2x-1 $? Alla fine $ inftyx^infty $ non sarebbe indeterminato per $ |x| < 1 $?
Qualcuno mi può spiegare il metodo giusto per calcolare rigorosamente questa sommatoria? O in alternativa semplicemente il metodo per calcolare quel limite in funzione di valori di $ x < |1| $?