Calcolare la somma di una serie di potenze

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi, sto tentando di svolgere questo esercizio: Studiare la convergenza della serie $ sum_(n=1)^(+oo) ((2^n + 3^n)/4^n)(x^2 +1)^n $ e calcolarne la somma;
sulla prima parte non c'è alcun problema, pongo x^2 + 1 = t e calcolo il raggio di convergenza attraverso il criterio della radice e alla fine pervengo alla conclusione che la serie converge puntualmente quando x appartiene all'insieme $ (-1,1) $ , controllo gli estremi e noto che quando $ x=+-1 $ la serie diverge; c'è convergenza uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $ (-1,1) $; ma come procedo per la somma? Devo ricorrere ai teoremi di derivazione/integrazione per serie di potenze?

[ostrogoto1]

Calcola meglio l'insieme di convergenza:
$ exp[1/nln((2^n+3^n)/4^n)]=exp[1/n(ln(2^n+3^n)-ln(4^n))]=exp[1/n(ln(3^n(1+(2/3)^n))-ln(4^n)]=exp[ln3+1/nln(1+(2/3)^n)-ln4]=exp[ln(3/4)+1/nln(1+(2/3)^n)]=3/4exp[1/nln(1+(2/3)^n)]rarr3/4 $
per $ nrarr+oo $

quindi il raggio di convergenza della serie $ sum_(n=1)^(+oo)((2^n+3^n)/4^n)t^n $ e' $ R=4/3 $, cioe' la serie originale converge per $ x^2+1<4/3 $ cioe' $ x^2<1/3 $ cioe' $ -sqrt(1/3) Valuta tu gli estremi.

Per calcolare la somma riscrivo la serie come somma di due serie geometriche di cui so calcolare la somma:

$ sum_(n=1)^(+oo)((2^n+3^n)/4^n)(x^2+1)^n=sum_(n=1)^(+oo)((x^2+1)/2)^n+sum_(n=1)^(+oo)(3/4(x^2+1))^n $