Calcolare la serie di taylor...

[matteomors]

...nel punto $0$ di $f(x)=arctan(1+x)$.

Salve a tutti:)

Allora per questi tipi di esercizi procedo così.

$f(0)=arctan(1)=\pi/4$

$f'(0)=1/2$

$f''(0)=-1/2$

$f'''(0)=1/2$

$f''''(0)=-1/2$ etc etc...

Poi vado a sostituire alla formula generale $g(x)=f(x)+(f'(x))/(1!)x+(f"(x))/(2!)x^2+...$ ed ottengo:

$arctan(1+x)=\pi/4+1/2x-1/4x^2+1/(12)x^3 $ etc etc giusto?

[stefano_89]

Si è corretto..

[matteomors]

Grazie, però ho due dubbi:

1)Io so che la formula di taylor per l'arcontangente è $sum_{n=0}^\infty ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)$. Non c'è un modo per risolvere l'esercizio usando questa formula?
Perchè in questo caso non specifica di fermarsi a nessun ordine,ma se per esempio mi avesse chiesto fino all'ordine 100,non potevo mica calcolarmi 100 derivate no?!

2)Un altro esercizio diceva:"calcola la serie di taylor della funzione $y=e^x$ nel punto $1$ fino all'ordine 3.

Io senza calcolare le derivate perchè sono tutte uguali scrivo subito la formula finale:

$g(x)=e+xe+(x^2e)/2+(x^3e)/6$ ma nel libro la soluzione è $e+e(x-1)+(e(x-1)^2)/2+(e(x-1)^3)/6$...insomma vien diverso...

non credo di aver capito a modo cosa mi chiede esattamente quando dice " calcolare la serie di taylor nel punto Xo della funzione f(x)=..."...e poi devo scrivere anche il resto?Mama che confusione...

[Camillo]

2 )Quando viene chiesto di scrivere la serie di Taylor di $f(x) $ nell'intorno del punto $x_0 $ avrai : $f(x)=f(x_0 )+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)(x-x_0)^2/(2!) +f'''(x_0 )(x-x_0)^3/(3!) +... $ .
Se lo applichi a $f(x)=e^x $ nell'intorno di $x=1 $ ottieni il risultato corretto.

[matteomors]

Ma se mi chiede di calcolare la serie di taylor di una funzione senza specificare il grado quando mi devo fermare?e il resto ci va in quel caso?

Invece nel caso che mi specifichi di fermarmi ad un certo grado noto,qual'è la formula del resto?

Grazie

[stefano_89]

"matteomors":Ma se mi chiede di calcolare la serie di taylor di una funzione senza specificare il grado quando mi devo fermare?e il resto ci va in quel caso?

Invece nel caso che mi specifichi di fermarmi ad un certo grado noto,qual'è la formula del resto?

Grazie

Più che formula di resto, si tende a scrivere che tutto ciò che ha gradi maggiore di quello che hai sviluppato è: $o(|x - x_0|)$
Per quanto riguarda il grado, gli unici casi in cui non ti verrà specificato è quando devi risolvere un limite, in cui sarai tu a non dover svilupare troppi casi termin (sennò ti incasineresti). Anche se, l' unico testo d' esame in cui si chiedeva uno sviluppo di una specifica fuzione, non tra quelle note ovviamente, e non era indicato il grado, era perchè si doveva proprio trovare le serie generale della funzione, poi non so a te cosa venga chiesto di preciso..

[matteomors]

Calcolare la serie di taylor di grado 3 di $log(1+x)$ nel punto 0.

Va bene?

$g(x)=x+x^2/2 $

Ma poi ci devo mettere il resto?

[dissonance]

E' sbagliata la traccia dell'esercizio. Quello che hai scritto è il polinomio di Taylor di grado 2 di $log(1+x)$. La serie di Taylor invece non ha grado, appunto perché è una serie (in un certo senso è un polinomio di grado infinito).

[matteomors]

Si hai ragione...ma se fosse il polinomio sarebbe giusto?o devo metterci anche il resto?

[dissonance]

Non è giusto perché ti sei fermato al secondo grado. Se ti chiede solo il polinomio non ci devi mettere il resto.

[matteomors]

Ok quindi faccio lo stesso procedimento anche per la derivata terza e poi basta?

[stefano_89]

"matteomors":Ok quindi faccio lo stesso procedimento anche per la derivata terza e poi basta?

Si, il grado è il numero di derivate che devi fare.