Calcolare la serie di MacLaurin di f

[enea.peretti]

Mi sapete spiegare come si calcola la serie di MacLaurin di una funzione f? è una parte del programma di analisi 2 che proprio mi manca, che passaggi devo seguire? Ad esempio come si calcola la serie di MacLaurin di questa funzione?

$f(x)=int_(0)^(x) t^13*log(1+2*t^2) dt$

[quantunquemente]

per la definizione puoi vedere su un qualsiasi testo o su internet
l'aiuto che ti posso dare è il seguente : $f(0)=0$ e $f'(x)=x^13ln(1+2x^2)$ per il teorema della funzione integrale

[enea.peretti]

continuo a fare le derivate delle devivate delle derivate ma niente. Ho capito che fino alla derivata 13-esima inclusa ottengo 0.

[donald_zeka]

$x^(13)ln(1+2x^2)=x^(13)(2x^2+...)$

[enea.peretti]

non capisco...

[donald_zeka]

$F(x)=int_(0)^(x)t^(13)ln(1+2t^2)dt$ è una primitiva di $f(x)=x^(13)ln(1+2x^2)$, per conoscere il polinomio di mclaurin bisogna sapere le derivate di $F(x)$, ma la derivata $n$-esima di $F(x)$ non è altro che la derivata $(n-1)$esima di $f(x)$, il generico termine del polinomio di mclaurin di F è quindi:

$(F^(n)(0)x^n)/(n!)=(f^(n-1)(0)x^n)/(n!)=[f^(n-1)(0)x^(n-1)/((n-1)!)]x/n$

Il termne tra parentesi quadre non è altro che il generico termine dello sviluppo di mclaurin di f(x), e quindi per ottenere lo sviluppo di F(x) non devi fare altro che moltiplicare il generico termine di $f$ per $x/n$, con $n>=1$