Calcolare la derivata direzionale

[qwert90]

salve come si calcola la derivata direzionale di una funzione secondo un dato vettore??

so che è una domanda stupida... ma sul mio libro no c'è nessun esempio e c'è solo una definizione stringata di tale argomento...
non è che potreste farmi un esempio operativo cosicchè possa capire??
grazie mille a tutti

[enr87]

la funzione in questione è differenziabile o no?

[qwert90]

sisi

[enr87]

allora è facile, basta usare la formula del gradiente (altrimenti dovevi ricorrere ad un altro modo).
si dimostra che la derivata lungo la direzione di v (versore) nel punto x0 è data da $< \nabla f(x_0), v >$

[qwert90]

cioè sarebbe $f_x(x_0,y_0)*v_x+f_y(x_0,y_0)*v_y$

???

[enr87]

sì, per funzioni di due variabili. altrimenti hai più derivate parziali e di conseguenza più componenti del versore v

[qwert90]

ho capito...
se non era differenziabile la funzione com avrresti fatto?

[enr87]

se non è differenziabile non è detto che quella formula funzioni, allora si ricorre a un trucchetto: sai che dato un versore v, la derivata direzionale è definita come

$ \lim_{t \to 0} (f(x_0 + tv) - f(x_0)) / t $

ponendo $ f(x_0 + tv) = phi(t) $, ottieni che la derivata di f in $x_0$, lungo la direzione v, è la derivata in 0 della funzione $phi(t)$. questo equivale geometricamente a centrare un sistema a due dimensioni nel punto e nella direzione in cui vuoi calcolare la derivata (infatti derivi in 0)

[edit] ho scritto due dimensioni nell'ipotesi di funzioni di due variabili