Calcolare la chiusura di un insieme

[Benihime1]

sia $A sub RR$ il seguente insieme
$A={(mn)/(m^2+n^2+1) in RR : m,n in ZZ}$
calcolare la chiusura di A in $RR$ rispetto alla distanza standard

non ho idea della procedura da utilzzare per solgere questo esercizio

per abbreviare la scrittura chiamo $f(n,m)=(mn)/(m^2+n^2+1)$
ho notato che se $m$ o $n$ sono uguli a 0 allora $f(m,n)=0$

per semplificare intanto guardo il caso in cui $mn>0$
se $|m|,|n|=1$ allora $f(m,n)=1/3$
ora,poiche al denominatore ho dei quadrati(che sono piu "forti"),mi viene da dire che al crescere di $|m|,|n|$, $f(n,m)$ decresca
inece nel caso in cui $mn<0$
se $|m|,|n|=1$ allora $f(m,n)=-1/3$ e ragionando come prima direi che al crescere di $|m|,|n|$, $f(n,m)$ cresca

quindi alla fine mi viene da dire che $A sub [-1/3,1/3]$
e che quindi $[-1/3,1/3]$ sia la chiusura di A

però questo ragionamento mi sembra davvero maldestro e impreciso
mi suggerite un procedimento migliore?

[theras]

Così,su due piedi,mi viene da dire invece che $bar(X)=[-1/2,1/2]$:
magari,per dimostrarlo,potrebbe esserti utile disegnare i grafici della famiglia di funzioni il cui generico elemento è la
$f_m(x)=(mx)/(m^2+x^2+1):RR to RR$,studiandone i punti estremanti al variare di $m in ZZ$,
per poi ricorrere alla definizione di chiusura come unione tra $X$ e l'insieme dei suoi punti d'accumulazione(*) e,
se proprio ci tieni,alla più classica delle verifiche per doppia inclusione.
Saluti dal web.
(*)Ricordo come,dato uno spazio metrico $(S,d)$ e $emptyset ne X sube S$,
diremo che un assegnato $x_0 in S$ è d'accumulazione per esso allora e solo quando in qualunque intorno circolare di $x_0$ rispetto alla distanza d cade almeno un elemento(e dunque infiniti..)di $X$ diverso da $x_0$.

[Benihime1]

in effetti facendo lo studio della funzione(considerando x ed m reali) mi viene che $bar(X)=[-1/2,1/2]$
però non ho tanto modo di capire se,restringendo ai casi in cui x ed m sono interi,$bar(X)$ non venga più piccolo

ho studiato la funzione coe mi hai suggerito
ti riporto i casi per m>0 perchè per m<0 i risultati sono gli stessi ma rovesciati
mi risulta che il massimo di $f_m(x)$ sia $M=m/(2sqrt(m^2+1)$ (il minimo invece è -M)
ho studiato poi la funzione $g(m)=m/(2sqrt(m^2+1)$ e mi risulta che il massimo lo abbiamo a $+infty$ ed è $1/2$
ma come faccio a sapere se,restringendo al caso in cui x è intero, il massimo di $f_m(x)$ non sia il realtà

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[theras]

Il punto,piuttosto,è che,grazie all'esser vero come $EElim_(m to oo)m/(sqrt(m^2+1))=1/2$(1),
in un intorno sinistro di $1/2$ cadranno infiniti elementi del tuo insieme:
per avvedersene basterà tradurre la (1) in linguaggio $epsilon-nu$,
ed è altresì possibile usare il fatto che $1/2$ sia estremo superiore per stabilire come,$AA z in(1/2,+oo)$,
è possibile trovare intorni di $z$ non contenenti alcun punto di X.
Per verificare poi che i punti interni a $[0,1/2]$ i quali non sono assunti da $f(m,n)$ per alcun valore di $m,n in ZZ$ sono comunque d'accumulazione per $X$,basta usare la continuità in $[0,+oo)$ di tutte le $f_m(x)$,
congiuntamente al teorema dei valori intermedi ed alla densità di $QQ$ in $RR$
(i.e. che,rispetto alla distanza usuale,il derivato di $QQ$ è proprio $RR$..):
l'altro verso d'inclusione è invece più immediato
(infatti,detto X' il sottoinsieme di X ottenuto facendo variare $m,n$ in $NN_0$,
si ha evidentemente $X' sube im_(x in[0,+oo))f_m=[0,1/2) sube [0,1/2]$ $AA m in NN$,
ed inoltre per quanto appena detto $DX' sube [0,1/2]$..),
e della simmetrizzabilità rispetto a $m=0$ di questo ragionamento,infine,ti sei accorto già !
Saluti dal web.

[Benihime1]

ok dai,penso di aver capito tutto....grazie mille dell'aiuto,davvero