Calcolare $\int_0^1 {1/x} dx$

[Sk_Anonymous]

Per ogni $x \in \mathbb{R}$, sia $\{x\}$ la parte frazionaria di $x$. Dopo aver provato che converge, calcolare l'integrale improprio $\int_0^1 {\frac{1}{x}} dx$.

[Sk_Anonymous]

...bisogna calcolare il valore dell'integrale.

[son Goku1]

poniamo $a_1=1; a_2=int_1^(2)(dx/x); a_3=1/2; a_4=int_2^(3) (dx/x) ...$
dove $a_(2n-1)=1/n , a_(2n)=int_n^(n+1)(dx/x)$ per n=1,2,3,...

allora $a_n to 0$ perciò la serie $sum(-1)^(n-1)a_n$ converge

inoltre $s_(2n-1)=1-int_1^2 (dx/x)+1/2-...-int_(n-1)^n(dx/x)+1/n=1+1/2+...+1/n-ln(n)$ ,inoltre per $n to infty$ $s_(2n-1) to gamma$ che è la costante di Eulero.

[Sk_Anonymous]

"GuillaumedeL'Hopital":poniamo $a_1=1; a_2=int_1^(2)(dx/x); a_3=1/2; a_4=int_2^(3) (dx/x) ...$
dove $a_(2n-1)=1/n , a_(2n)=int_n^(n+1)(dx/x)$ per n=1,2,3,...

allora $a_n to 0$ perciò la serie $sum(-1)^(n-1)a_n$ converge

inoltre $s_(2n-1)=1-int_1^2 (dx/x)+1/2-...-int_(n-1)^n(dx/x)+1/n=1+1/2+...+1/n-ln(n)$ ,inoltre per $n to infty$ $s_(2n-1) to gamma$ che è la costante di Eulero.

Sì, benissimo... Qui in pratica tu hai dimostrato che il limite $\lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n))$ converge. Però dov'è che tutto questo si raccorda al calcolo dell'integrale $\int_0^1 {\frac{1}{x}} dx$?

[son Goku1]

"GuillaumedeL'Hopital":poniamo $a_1=1; a_2=int_1^(2)(dx/x); a_3=1/2; a_4=int_2^(3) (dx/x) ...$
dove $a_(2n-1)=1/n , a_(2n)=int_n^(n+1)(dx/x)$ per n=1,2,3,...

allora $a_n to 0$ perciò la serie $sum(-1)^(n-1)a_n$ converge

inoltre $s_(2n-1)=1-int_1^2 (dx/x)+1/2-...-int_(n-1)^n(dx/x)+1/n=1+1/2+...+1/n-ln(n)$ ,inoltre per $n to infty$ $s_(2n-1) to gamma$ che è la costante di Eulero.

$sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i))=ln([1/epsilon])+c-1+o(1)$ c=costante di eulero;

direi che il tutto dimostra che l'$o(1)$ che era scomparso prima al limite tende davvero a scomparire, altro non saprei, se questa non fosse la soluzione, allora lascio volentieri cimentarcisi qualcun'altro.

[Sk_Anonymous]

Ok, funziona.