Calcolare $\int_0^1 {1/x} dx$
Per ogni $x \in \mathbb{R}$, sia $\{x\}$ la parte frazionaria di $x$. Dopo aver provato che converge, calcolare l'integrale improprio $\int_0^1 {\frac{1}{x}} dx$.
Risposte
Quesito interessante!
Io so' solo dimostrare la convergenza:
$ |\int_\Omega f(x) dx | \leq |\Omega| \text{sup}_\Omega | f(x) | $
Quindi:
$ |\int_0^1 {1/x} dx | \leq 1 $
ma queste sono cose banali... il piu' mi sembra ancora tutto da fare....
Io so' solo dimostrare la convergenza:
$ |\int_\Omega f(x) dx | \leq |\Omega| \text{sup}_\Omega | f(x) | $
Quindi:
$ |\int_0^1 {1/x} dx | \leq 1 $
ma queste sono cose banali... il piu' mi sembra ancora tutto da fare....
"david_e":
Quesito interessante!
Non c'è dubbio. Del resto, non è mia abitudine applicarmi sui problemi che non lo siano.
"david_e":
Io so' solo dimostrare la convergenza:
$ |\int_\Omega f(x) dx | \leq |\Omega| \sup_\Omega | f(x) | $
Mi chiarisci la notazione? Forse che $|\Omega|$ indica la misura PJ di $\Omega$? E cos'è quella scrittura a destra, con $\Omega$ al pedice del segno di sup-inclusione?
${1/x}=1/x-[1/x] => lim_{epsilon to 0^+}(int_epsilon^1 1/xdx- int_epsilon^1 [1/x]dx)=-lim_{epsilon to 0} (ln(epsilon)+sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i)))$
$sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i))=ln([1/epsilon])+c-1+o(1)$ c=costante di eulero;
$-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i)))=-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))=1-c$
edit: correggo errori di segno notazionali
$sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i))=ln([1/epsilon])+c-1+o(1)$ c=costante di eulero;
$-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+sum_{i=1}^[[1/epsilon]] (1/(1+i)))=-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))=1-c$
edit: correggo errori di segno notazionali
"GuillaumedeL'Hopital":
${1/x}=1/x-[1/x] => int_0^1 1/x- int_0^1 [1/x]=-lim_{epsilon to 0} ln(epsilon)+sum_{i=1}^[1/epsilon] (1/(1+i))$
$sum_{i=1}^[1/epsilon] (1/(1+i))=ln(1/epsilon)+c-1+o(1)$ c=costante di eulero;
$lim_{epsilon to 0} (ln(epsilon)+sum_{i=1}^[1/epsilon] (1/(1+i)))=lim_{epsilon to 0} (ln(epsilon)-ln(1/epsilon)+c-1)=c-1$
Le idee ci sono tutte - anche se andrebbero formalizzate un po' meglio, direi.
"GuillaumedeL'Hopital":
$lim_{epsilon to 0} (ln(epsilon)-ln(1/epsilon)+c-1)=c-1$
Intanto questo: il limite dev'essere per $\epsilon \to 0^+$, ché altrimenti il calcolo non è ben posto. Più importante però è capire che fine abbia fatto quell'$o(1)$ che appariva al passaggio precedente, e in che modo mai il limite indicato possa dare $c-1$.
"DavidHilbert":
Mi chiarisci la notazione? Forse che $|\Omega|$ indica la misura PJ di $\Omega$? E cos'è quella scrittura a destra, con $\Omega$ al pedice del segno di sup-inclusione?
Scusa, non ho riletto il mex e nn mi sono accorto di aver sbagliato col MathML. Ora ho corretto... $|\Omega|$ indicava la misura di $\Omega$....
Comunque mi pare, nn ho letto bene, che il problema sia stato risolto!
Si potrebbe usare un metodo numerico come i trapezi o simpson o non si raggiungerebbe la convergenza?
Ok, vada perciò per la convergenza!
Non proprio: GuillaumeDeL'Hopital ha suggerito la via, ma la sua soluzione fa acqua da ogni parte. Perciò il problema deve ritenersi ancora irrisolto. Su, che qualcuno formalizzi!
"david_e":
Comunque mi pare, nn ho letto bene, che il problema sia stato risolto!
Non proprio: GuillaumeDeL'Hopital ha suggerito la via, ma la sua soluzione fa acqua da ogni parte. Perciò il problema deve ritenersi ancora irrisolto. Su, che qualcuno formalizzi!
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Si potrebbe usare un metodo numerico come i trapezi o simpson o non si raggiungerebbe la convergenza?
Gia con i trapezi secondo me si ha la convergenza. Infatti la parte frazionaria, ristretta ad ogni intervallo di monotonia (mi si passi questa espressione), e', in pratica, una funzione lineare. Quindi l'integrale calcolato con i trapezi su quell'intervallo (valutanto la funzione nel punto medio!) e' uguale a quello vero. Suddividendo, al limite, l'intervallo $(0,1)$ in modo da avere ${1/x}$ lineare su ogni sottointervallo e integriamo con i trapezi otteniamo l'integrale esatto... (al limite visto che questi intervalli sono in numero infinito)
bisogna formalizzare questo:
$-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))$?
$-lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))$?
"david_e":
Gia con i trapezi secondo me si ha la convergenza. Infatti la parte frazionaria, ristretta ad ogni intervallo di monotonia (mi si passi questa espressione), e', in pratica, una funzione lineare. Quindi l'integrale calcolato con i trapezi su quell'intervallo (valutanto la funzione nel punto medio!) e' uguale a quello vero. Suddividendo, al limite, l'intervallo $(0,1)$ in modo da avere ${1/x}$ lineare su ogni sottointervallo e integriamo con i trapezi otteniamo l'integrale esatto... (al limite visto che questi intervalli sono in numero infinito)
Sì, è tutto molto bello, ma resta comunque un discorso sul vago, se non gli fa seguito un calcolo.
"GuillaumedeL'Hopital":
bisogna formalizzare questo:
$lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))$?
Sì, formalizzare il fatto che il risultato del limite qui sopra è proprio $c-1$.
$lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])+c-1+o(1))=c-1+ln (lim_{epsilon to 0^+}(epsilon*(1/epsilon-{1/epsilon})))=c-1$ poichè $lim_{epsilon to 0^+}(epsilon*(1/epsilon-{1/epsilon}))=1-lim_{x to 0^+}(epsilon*{1/epsilon})=1$ perchè $0<={1/epsilon}<1$
giusto?
giusto?
"GuillaumedeL'Hopital":
$lim_{epsilon to 0^+} (ln(epsilon)+ln([1/epsilon])) = c-1+ln (lim_{epsilon to 0^+}(epsilon*(1/epsilon-{1/epsilon})))
Ancora non è chiaro come faccia a sparire quell'$o(1)$, Guillaume... Che infatti NON si riesce a toglierlo dai piedi, se non si modifica leggermente l'impostazione del calcolo a monte di tutto questo!
Quel che sto cercando di dirti è che devi trovare una maniera formale acché quel fastidioso $o$ piccolo proprio non compaia, nel corso dei tuoi conti... Sfrutta il fatto che l'integrale improprio è convergente e ragiona di conseguenza considerando che (per la definizione più generale di limite):
"se $(S_1, O_1)$ ed $(S_2, O_2)$ sono degli spazi topologici, $u_0 \in S_1$ ed $f: S_1 \rightarrow S_2$ è una funzione, allora $\exists \lim_{u \to u_0} f(u) = v \in S_2$ sse, comunque scelta una successione $\{u_n\}_{n \ge 1}$ di punti di $S_1$ tale che $\lim_{n \to \infty} u_n = u_0$, si verifica che $\lim_{n \to \infty} f(u_n) = v$."
"DavidHilbert":
[quote="david_e"]
Gia con i trapezi secondo me si ha la convergenza. Infatti la parte frazionaria, ristretta ad ogni intervallo di monotonia (mi si passi questa espressione), e', in pratica, una funzione lineare. Quindi l'integrale calcolato con i trapezi su quell'intervallo (valutanto la funzione nel punto medio!) e' uguale a quello vero. Suddividendo, al limite, l'intervallo $(0,1)$ in modo da avere ${1/x}$ lineare su ogni sottointervallo e integriamo con i trapezi otteniamo l'integrale esatto... (al limite visto che questi intervalli sono in numero infinito)
Sì, è tutto molto bello, ma resta comunque un discorso sul vago, se non gli fa seguito un calcolo.[/quote]
Hai ragione, ma essndo studente di ing. potrei fare qualche magra figura nel tentare di formalizzare quello che ho detto... comunuque voglio provarci.
Sia $\epsilon \in (0,1)$ e ${1/\epsilon}=0$. Esistono esattamente $N_\epsilon=1/\epsilon$ intervalli del tipo che ho descritto prima. Infatti:
${1/x}=1/x-[1/x]$
ed:
$1/x \in C(\epsilon,1)$
e:
$[1/x]$
e' una funzione continua a tratti su $N_\epsilon=1/\epsilon$ intervalli in $(\epsilon,1)$ abbiamo che ${1/x}$ e' continua su tutti questi intervalli e che il loro numero e' proprio uguale al numero di salti di $[1/x]$...
Quindi se $I_j$ con $j=1, \ldots N_\epsilon$ e' la "successione" di questi intervalli, indicando con $Q_j$ la quadratura ottenuta con la formula dei trapezi scegliendo come punto medio per la formula il punti medio di $I_j$ e indicando con $Q_\epsilon$ la quadratura su $(\epsilon,1)$ abbiamo(*):
$ Q_\epsilon = \sum_{j=1}^{N_\epsilon} Q_j = \sum_{j=1}^{N_\epsilon} \int_{I_j} {1/x} dx = \int_\epsilon^1 {1/x} dx $
Ora per quanto detto nel mio primo post:
$ \int_0^\epsilon {1/x} dx \leq \epsilon $
abbiamo:
$ |Q_\epsilon - \int_0^1 {1/x}| = |\int_\epsilon^1 {1/x} dx - \int_0^1 {1/x} dx| = |\int_0^\epsilon {1/x}dx| \leq \epsilon $
quindi:
$ \lim_{\epsilon \to 0^+} Q_\epsilon = \int_0^1 {1/x} dx $
il che ci da' la convergenza.
--------------------------------------------
(*) ricordando che la quadratura con il metodo dei trapezi e' esatta nel caso di funzioni lineari (intendendo funzioni che anno come grafico un segmento, non solo lineari nel senso vero e proprio del termine).
"david_e":
Io so' solo dimostrare la convergenza: $ |\int_\Omega f(x) dx | \leq |\Omega| \text{sup}_\Omega | f(x) | $
In verità mi sarei contentato già di questo, in quanto al problema della convergenza. Il punto è un altro: appurato che converge, l'integrale s'ha da calcolare! Guillaume è stato molto smart ad indicare il modo: adesso bisogna solamente mettere a posto un paio di dettagli.
"DavidHilbert":
[quote="david_e"]
Gia con i trapezi secondo me si ha la convergenza. Infatti la parte frazionaria, ristretta ad ogni intervallo di monotonia (mi si passi questa espressione), e', in pratica, una funzione lineare. Quindi l'integrale calcolato con i trapezi su quell'intervallo (valutanto la funzione nel punto medio!) e' uguale a quello vero. Suddividendo, al limite, l'intervallo $(0,1)$ in modo da avere ${1/x}$ lineare su ogni sottointervallo e integriamo con i trapezi otteniamo l'integrale esatto... (al limite visto che questi intervalli sono in numero infinito)
Sì, è tutto molto bello, ma resta comunque un discorso sul vago, se non gli fa seguito un calcolo.[/quote]
"DavidHilbert":
In verità mi sarei contentato già di questo, in quanto al problema della convergenza. Il punto è un altro: appurato che converge, l'integrale s'ha da calcolare! Guillaume è stato molto smart ad indicare il modo: adesso bisogna solamente mettere a posto un paio di dettagli.
Pensavo che volessi sapere della convergenza del metodo numerico...
"david_e":
Pensavo che volessi sapere della convergenza del metodo numerico...
...allora vuol dire che non ci eravamo capiti. Amici come prima?
Bene, adesso il calcolo!
"david_e":
[quote="DavidHilbert"]
Sì, è tutto molto bello, ma resta comunque un discorso sul vago, se non gli fa seguito un calcolo.
Hai ragione, ma essndo studente di ing. potrei fare qualche magra figura nel tentare di formalizzare quello che ho detto... comunuque voglio provarci.[/quote]
Ovvìa, che il fatto d'essere uno studente di ingegneria non significa granché - a suo tempo anche Von Neumann 'l fu! E più modestamente, a suo tempo, anch'io lo sono stato...
"DavidHilbert":
[quote="david_e"]Pensavo che volessi sapere della convergenza del metodo numerico...
...allora vuol dire che non ci eravamo capiti. Amici come prima?
Bene, adesso il calcolo![/quote]Certo!
Non ho capito allora esattamente cosa devo dimostrare... dal mio punto di vista nn c'e' nulla da dimostrare sul fatto che:
$|\int_\Omega f(x) dx| \leq |\Omega|\text{sup}_\Omega |f(x)| $
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