Calcolare insieme derivato ( da correggere)
Siano $ alpha in NN^* $ ,$A_alpha := {x in RR : 4 alpha x^2 + 7 alpha x + 32 = 0 }$ e$ A = uuu_(alpha in NN^*) A_alpha$
$NN^* = NN - {0}$
Calcolare l'insieme derivato $D(A)$.
Io ho fatto così:
ho calcolato $x_1$ e $x_2 $ dell'equazione: $4alpha x^2 + 7 alpha x + 32 = 0$
$Delta = 49 alpha^2 - 512 alpha$
$ x_(1,2)= frac{ - 7 alpha +- sqrt ( 49 alpha^2 - 512 alpha)}{ 8 alpha}$
che diventano rispettivamente:
$ x_1 = frac{ - 7 alpha - alpha * sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 alpha} = frac{ -7 - sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 }$
$ x_2 = frac{ - 7 alpha + alpha * sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 alpha} = frac{ -7 +sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 }$
$lim_(alpha->infty) x_1 = frac{-14}{8} = frac{-7}{4}$
$lim_(alpha->infty) x_2 = 0$
quindi l'insieme derivato $D(A) sube [frac{-7}{4}, 0] $
E' corretto?
$NN^* = NN - {0}$
Calcolare l'insieme derivato $D(A)$.
Io ho fatto così:
ho calcolato $x_1$ e $x_2 $ dell'equazione: $4alpha x^2 + 7 alpha x + 32 = 0$
$Delta = 49 alpha^2 - 512 alpha$
$ x_(1,2)= frac{ - 7 alpha +- sqrt ( 49 alpha^2 - 512 alpha)}{ 8 alpha}$
che diventano rispettivamente:
$ x_1 = frac{ - 7 alpha - alpha * sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 alpha} = frac{ -7 - sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 }$
$ x_2 = frac{ - 7 alpha + alpha * sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 alpha} = frac{ -7 +sqrt ( 49 - frac{512}{alpha})}{ 8 }$
$lim_(alpha->infty) x_1 = frac{-14}{8} = frac{-7}{4}$
$lim_(alpha->infty) x_2 = 0$
quindi l'insieme derivato $D(A) sube [frac{-7}{4}, 0] $
E' corretto?
Risposte
"up" 
Allora, hai stabilito che [tex]$A_\alpha =\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}$[/tex], cosicché [tex]$A=\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}_{\alpha \in \mathbb{N}}$[/tex], ed hai visto che [tex]$0,\frac{-7}{4}$[/tex] sono d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
La domanda è: essi secondo te sono gli unici p.d.a. per [tex]$A$[/tex] o ce ne sono altri?
Se ce ne sono altri, come li trovi (proprio con le mani)?
Se non ce ne sono altri, che significa?
Prova a fare un disegnino, casomai con MatLab o Mathematica, per visualizzare la situazione.
La domanda è: essi secondo te sono gli unici p.d.a. per [tex]$A$[/tex] o ce ne sono altri?
Se ce ne sono altri, come li trovi (proprio con le mani)?
Se non ce ne sono altri, che significa?
Prova a fare un disegnino, casomai con MatLab o Mathematica, per visualizzare la situazione.
"gugo82":
Allora, hai stabilito che [tex]$A_\alpha =\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}$[/tex], cosicché [tex]$A=\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}_{\alpha \in \mathbb{N}}$[/tex], ed hai visto che [tex]$0,\frac{-7}{4}$[/tex] sono d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
La domanda è: essi secondo te sono gli unici p.d.a. per [tex]$A$[/tex] o ce ne sono altri?
Mmm... Per me sono gli unici...Se mi chiedi il perchè...è perchè facendo i limiti ho trovato solo questi 2 valori.
"gugo82":
Se ce ne sono altri, come li trovi (proprio con le mani)?
Non ne ho la più pallida idea...
sono impreparato sui punti di accumulazione e sui libri non vi è spiegato nulla a riguardo..."gugo82":
Se non ce ne sono altri, che significa?
Forse che tutti i possibili zeri della funzione sono "contenuti" nell'insieme $D(A)$ ?
"gugo82":
Prova a fare un disegnino, casomai con MatLab o Mathematica, per visualizzare la situazione.
Prima devo saperli usare...
"qwerty90":
[quote="gugo82"]Allora, hai stabilito che [tex]$A_\alpha =\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}$[/tex], cosicché [tex]$A=\{ x_{1,\alpha} , x_{2,\alpha}\}_{\alpha \in \mathbb{N}}$[/tex], ed hai visto che [tex]$0,\frac{-7}{4}$[/tex] sono d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
La domanda è: essi secondo te sono gli unici p.d.a. per [tex]$A$[/tex] o ce ne sono altri?
Mmm... Per me sono gli unici...Se mi chiedi il perchè...è perchè facendo i limiti ho trovato solo questi 2 valori.[/quote]
Ok, ma va formalizzato meglio.
Se [tex]$\bar{x}$[/tex] fosse un p.d.a. per [tex]$A$[/tex] potresti trovare una successione [tex]$(x_n) \subseteq A$[/tex] tale che [tex]$x_n\to \bar{x}$[/tex].
Ma [tex]$(x_n)$[/tex] sarebbe da estrarsi dall'unione delle due successioni [tex]$(x_{1,\alpha}) , (x_{2,\alpha})$[/tex]; visto che le due successioni convergono a due limiti distinti, quali sarebbero i possibili limiti di [tex]$(x_n)$[/tex]?
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Se non ce ne sono altri, che significa?
Forse che tutti i possibili zeri della funzione sono "contenuti" nell'insieme $D(A)$?[/quote]
Ma no.
Vuol dire che [tex]$A$[/tex] ha solo quelli di p.d.a., sicché i conti che hai fatto bastano e avanzano!
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Prova a fare un disegnino, casomai con MatLab o Mathematica, per visualizzare la situazione.
Prima devo saperli usare...
[/quote]
"gugo82":
Ok, ma va formalizzato meglio.
Se [tex]$\bar{x}$[/tex] fosse un p.d.a. per [tex]$A$[/tex] potresti trovare una successione [tex]$(x_n) \subseteq A$[/tex] tale che [tex]$x_n\to \bar{x}$[/tex].
Ma [tex]$(x_n)$[/tex] sarebbe da estrarsi dall'unione delle due successioni [tex]$(x_{1,\alpha}) , (x_{2,\alpha})$[/tex]; visto che le due successioni convergono a due limiti distinti, quali sarebbero i possibili limiti di [tex]$(x_n)$[/tex]?
I possibili limiti di $x_n$ sarebbe un qualsiasi $barx in [0, - frac{7}{4}]$ o no?
"gugo82":
Ma no.
Vuol dire che [tex]$A$[/tex] ha solo quelli di p.d.a., sicché i conti che hai fatto bastano e avanzano!
ok
... Lo sò che sto per chiederti una cosa sbagliata ma te la chiedo...Ogni volta che devo trovare i punti di accumulazione devo fare i limiti, no?(ti dico che è sbagliata, perchè è come se ti chiedessi un meccanismo da usare ogni volta, sufficiente e necessario
)
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Ok, ma va formalizzato meglio.
Se [tex]$\bar{x}$[/tex] fosse un p.d.a. per [tex]$A$[/tex] potresti trovare una successione [tex]$(x_n) \subseteq A$[/tex] tale che [tex]$x_n\to \bar{x}$[/tex].
Ma [tex]$(x_n)$[/tex] sarebbe da estrarsi dall'unione delle due successioni [tex]$(x_{1,\alpha}) , (x_{2,\alpha})$[/tex]; visto che le due successioni convergono a due limiti distinti, quali sarebbero i possibili limiti di [tex]$(x_n)$[/tex]?
I possibili limiti di $x_n$ sarebbe un qualsiasi $barx in [0, - frac{7}{4}]$ o no?[/quote]
Ma perchè?
Se prendo la successione di termine generale [tex]$x_n=\frac{1}{n}$[/tex] contenuta in [tex]$[0,1]$[/tex], ti pare che essa abbia come p.d.a. ogni [tex]$\bar{x} \in [0,1]$[/tex]?
I teoremi sulle successioni estratte li hai studiati?
"gugo82":
Ma perchè?
Se prendo la successione di termine generale [tex]$x_n=\frac{1}{n}$[/tex] contenuta in [tex]$[0,1]$[/tex], ti pare che essa abbia come p.d.a. ogni [tex]$\bar{x} \in [0,1]$[/tex]?
I teoremi sulle successioni estratte li hai studiati?
Ok...forse sono troppo impulsivo.Forse tu ti riferisci al fatto che se una successione converge ad un limite reale $l$ , allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite $l$.
Quindi in questo caso se esistesse un altro punto di accumulazione dovrebbe avere come limite sia il valore $0$ che il valore $frac{-7}{4}$ e quindi per il teorema di unicità del limite si ha un assurdo.
Adesso come vado?
Sicuramente meglio! 
Quindi nessun punto di [tex]$\left[ -\frac{7}{4} ,0\right]$[/tex] (ma addirittura di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) distinto da [tex]$-\frac{7}{4}$[/tex] e [tex]$0$[/tex] può essere d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
Ne consegue che il derivato di [tex]$A$[/tex] è...
Quindi nessun punto di [tex]$\left[ -\frac{7}{4} ,0\right]$[/tex] (ma addirittura di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) distinto da [tex]$-\frac{7}{4}$[/tex] e [tex]$0$[/tex] può essere d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
Ne consegue che il derivato di [tex]$A$[/tex] è...
"gugo82":
Sicuramente meglio!
Quindi nessun punto di [tex]$\left[ -\frac{7}{4} ,0\right]$[/tex] (ma addirittura di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) distinto da [tex]$-\frac{7}{4}$[/tex] e [tex]$0$[/tex] può essere d'accumulazione per [tex]$A$[/tex].
Ne consegue che il derivato di [tex]$A$[/tex] è...
$D(A) = {frac{-7}{4},0}$
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