Calcolare in forma algebrica le radici complesse del polinomio

[gully_93]

Ciao a tutti.
Come da titolo , dovrei calcolare [highlight]in forma algebrica[/highlight] le radici complesse del polinomio ed utilizzarle per decomporre il polinomio in fattori irriducibili in campo reale.

$ P(x)=x^6-64 $

Io ho riscritto il polinomio come
$ (x^2-4)(x^4+4x^2+16) $

e successivamente come

$ (x-2)(x+2)(x^4+4x^2+16) $

Dopo ho posto $ x^2=t $

ed ho sostituito arrivando ad avere un'equazione di secondo grado

$ t^2+4t+16 $

dalla quale ottengo

$ t1=-2-2i \sqrt[3] $
$ t2=-2+2i \sqrt[3] $

tornando in x ottengo

$ x1=-\sqrt[-2-2i \sqrt[3]] $
$ x2=\sqrt[-2-2i \sqrt[3]] $
$ x3=-\sqrt[-2+2i \sqrt[3]] $
$ x4=\sqrt[-2+2i \sqrt[3]] $

Manipolo le radici
$ x1=-\sqrt[-2-2i \sqrt[3]]=- \sqrt[1-2i\sqrt[3] -3] $ //ho aggiunto e tolto 3

$ =- \sqrt[1-2i\sqrt[3] + (i\sqrt[3])^2 ]= -\sqrt[(1-i\sqrt[3])^2]=-(1-i\sqrt[3]) =-1+i\sqrt[3]$

$ x2=(1-i\sqrt[3]) $

$ x3=-(1+i\sqrt[3])=-1-i\sqrt[3] $

$ x4=(1+i\sqrt[3]) $

Ora moltiplico due a due le coniugate ottenendo
$(x -x1)(x-x3)=x^2+2x+4 $

$(x-x2)(x-x4)=x^2-2x+4 $

Dunque

$P(x)=x^6-64=(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4) $

Secondo voi va bene? mi sembra un pò lungo il procedimento..

[apatriarca]

Puoi usare il fatto che le radici seste dell'unità sono disposte in un esagono regolare di raggio 1. Nel tuo caso hai quindi che \(x^6 = 64 = 2^6.\) E le radici saranno quindi uguali a \(2\,\xi\) dove \(\xi\) è una qualsiasi radice sesta dell'unità.