Calcolare il volume rispetto all'asse x
$y=2x^2 $
$ 0<=x<=5 $ e $y=0 $ rispetto all'asse $ x=6 $vale:
per calcolare il volume utilizzo la seguente formula:
$pi int_(a)^(b) (f(x))^2 dx =piint_(0)^(5) (2x^2)^2 $
in questo caso però devo determinarlo rispetto ad x=6 quindi necessito di un nuovo sistema di riferimento:
vecchio sistema di riferimento:
oxy
nuovo sistema di riferimento oXY.
$ { ( x=X+6 ),( y=Y ):} $
quindi:
$y=2x^2$ diventa:$ Y=2(X+6)^2$
sviluppandolo ottengo:
$Y=2(X^2+12X+36)=2X^2+24X+72$
adesso l'obiettivo è quello di determinare la X.
risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo:
$X=-6$
$Y=X+6$
$X=Y-6$
adesso ponendo X=0 trovo le intersezioni tra grafico e asse Y.
$X=0$
$Y=6$
ottengo il seguente integrale:
$V=pi int_(6)^(? ) 2(X+6)^2 dx $
come trovo l'altro estremo di integrazione se a me ne torna solo uno?
ho provato a svolgere esercizi simili nel quale non compariva un'equazione di secondo grado è tutto mi torna.
in questo caso il procedimento è corretto o ha bisogno di qualche modifica?
Grazie a tutti per il vostro supporto
$ 0<=x<=5 $ e $y=0 $ rispetto all'asse $ x=6 $vale:
per calcolare il volume utilizzo la seguente formula:
$pi int_(a)^(b) (f(x))^2 dx =piint_(0)^(5) (2x^2)^2 $
in questo caso però devo determinarlo rispetto ad x=6 quindi necessito di un nuovo sistema di riferimento:
vecchio sistema di riferimento:
oxy
nuovo sistema di riferimento oXY.
$ { ( x=X+6 ),( y=Y ):} $
quindi:
$y=2x^2$ diventa:$ Y=2(X+6)^2$
sviluppandolo ottengo:
$Y=2(X^2+12X+36)=2X^2+24X+72$
adesso l'obiettivo è quello di determinare la X.
risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo:
$X=-6$
$Y=X+6$
$X=Y-6$
adesso ponendo X=0 trovo le intersezioni tra grafico e asse Y.
$X=0$
$Y=6$
ottengo il seguente integrale:
$V=pi int_(6)^(? ) 2(X+6)^2 dx $
come trovo l'altro estremo di integrazione se a me ne torna solo uno?
ho provato a svolgere esercizi simili nel quale non compariva un'equazione di secondo grado è tutto mi torna.
in questo caso il procedimento è corretto o ha bisogno di qualche modifica?
Grazie a tutti per il vostro supporto
Risposte
"cri98":
y=2x^2 0<=x<=5 e y=0 rispetto all'asse x=6 vale:
Francamente potevi scrivere un po' meglio l'esposizione.
Ma se devo tirare ad indovinare, mi pare di capire che il problema chieda di ruotare la porzione di piano delimitata da $y=2x^2$ $x=0$ $x=5$ e $y=0$ attorno all'asse $x=6$
Se è così allora va bene traslare il tutto ma....
"cri98":
per calcolare il volume utilizzo la seguente formula:
$pi int_(a)^(b) (f(x))^2 dx =piint_(0)^(5) (2x^2)^2 $
...così ruoti il tutto attorno all'asse delle x.
Devi usare i gusci cilindrici
Ciao cri98,
La seconda che hai detto...
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
In questi casi consiglio sempre di fare un disegno per rendersi conto della situazione.
"cri98":
in questo caso il procedimento è corretto o ha bisogno di qualche modifica?
La seconda che hai detto...
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
In questi casi consiglio sempre di fare un disegno per rendersi conto della situazione.
salve ragazzi,
anzitutto grazie per le risposte.
mi scuso se il testo non è scritto chiaramente, ma da quanto riesco a desumere la$ y=2x^2$ viene fatta ruotare rispetto all'asse $ x=6.$
il risultato deve essere $ 425 pi$
Grazie!
anzitutto grazie per le risposte.
mi scuso se il testo non è scritto chiaramente, ma da quanto riesco a desumere la$ y=2x^2$ viene fatta ruotare rispetto all'asse $ x=6.$
il risultato deve essere $ 425 pi$
Grazie!
"cri98":
il risultato deve essere $ 425 pi$
Sicuro?
Beh, ma provaci no?
Il nuovo sistema di riferimento è corretto solo che, visto che la rotazione è rispetto alla retta verticale $x = 6 $ e non rispetto all'asse $x $ (di equazione $y = 0 $), se proprio vuoi continuare ad usare una formula similare a quella che hai citato, dovrai scrivere $ X = f(Y) $ ed usare una formula sul tipo della seguente:
$V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $
Ripeto: prova a fare un disegno per renderti conto della situazione...
Il nuovo sistema di riferimento è corretto solo che, visto che la rotazione è rispetto alla retta verticale $x = 6 $ e non rispetto all'asse $x $ (di equazione $y = 0 $), se proprio vuoi continuare ad usare una formula similare a quella che hai citato, dovrai scrivere $ X = f(Y) $ ed usare una formula sul tipo della seguente:
$V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $
Ripeto: prova a fare un disegno per renderti conto della situazione...
"pilloeffe":
$V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $
Anche così sarebbe sbagliato perchè il dominio non poggerebbe sull'asse di rotazione...
Ma perchè complicarsi la vita? Basta usare i gusci cilindrici e prendere il valore assoluto del risultato di:
$ 2piint_(-6)^(-1) 2x(x+6)^2 dx =375pi$
"Bokonon":
Anche così sarebbe sbagliato perchè il dominio non poggerebbe sull'asse di rotazione...
Non ho scritto che quella era la formula definitiva: è chiaro che occorre sottrarre il cilindro che si ha ruotando la figura, dato che la funzione $y = 2x^2 $ è per $ 0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione è attorno all'asse $x = 6 $ per cui occorre tener conto della distanza $6 - 5 = 1 $...
"pilloeffe":
Non ho scritto che quella era la formula definitiva:
Avresti scritto
$V = \pi \int_{c}^{d} ([f(Y)]^2-[g(Y)]^2) dY$ $=\pi \int_{c}^{d} ([f(Y)]^2-1) dY$
ovvero:
$ piint_(0)^(50) [(sqrt(y/2)-6)^2-1] dy =375pi$
Bravo, però immaginavo che tu lo sapessi fare: avrei voluto che ci arrivasse cri98...
Grazie ragazzi per le vostre risposte.
ho le idee un pò confuse......
Sicuro?[/quote]
le soluzioni che mi vengono proposte sono 4:
$ [615 pi] $
$ [465 pi] $
$ [425 pi] $
$ [ 325 pi] $
non riesco a capire quale è la formula generale che utilizzi.
ragazzi ho bisogno di capire cosa accade con un disegno:
considero la funzione y=2x^2
da qui cosa succede graficamente?
la parabola viene portata sul' asse x=6 è viene fatta ruotare attorno ad essa?
$f(Y) =2(X+6)^2 $?
dove trovo la$ g(Y)$?
Grazie
ho le idee un pò confuse......
"Bokonon":
[quote="cri98"]
il risultato deve essere $ 425 pi$
Sicuro?[/quote]
le soluzioni che mi vengono proposte sono 4:
$ [615 pi] $
$ [465 pi] $
$ [425 pi] $
$ [ 325 pi] $
"Bokonon":
$ 2piint_(-6)^(-1) 2x(x+6)^2 dx =375pi $
non riesco a capire quale è la formula generale che utilizzi.
ragazzi ho bisogno di capire cosa accade con un disegno:
considero la funzione y=2x^2
da qui cosa succede graficamente?
la parabola viene portata sul' asse x=6 è viene fatta ruotare attorno ad essa?
"pilloeffe":
$ V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $
$f(Y) =2(X+6)^2 $?
dove trovo la$ g(Y)$?
Grazie
@Cri98
Fidati di ciò che sto per dirti. Il risultato è $375pi$, probabilmente c'è un refuso di stampa nell'ultima opzione. Puoi sincerartene calcolando entrambi gli integrali che ho proposto (uno col metodo dei gusci cilindrici e il secondo con l'approccio classico di rotazione che volevi utilizzare).
La "formula sintetica" proposta da pilloeffe si applicherebbe (così com'è) solo e unicamente nel caso la $0<=x<=6$.
Ho anche scritto la versione corretta da applicare se non vuoi usare i gusci cilindrici...
Siamo franchi, il fatto è che non conosci i due metodi e per risolvere esercizi come questo è necessario conoscerli e capirne "le idee" che stanno dietro.
Non c'è nulla di "meccanico" in questo esercizio, devi bensì applicare delle idee (e quindi degli strumenti) nel modo corretto in base appunto alla richiesta del problema.
Nel momento in cui avrai studiato i due metodi e ti sarai chiarito cosa fanno, vedrai che tutto ciò che ho scritto sopra ti diverrà chiaro e potrai ricostruire da te i due integrali e infine ti sincererai del fatto che il risultato è $375pi$
Fidati di ciò che sto per dirti. Il risultato è $375pi$, probabilmente c'è un refuso di stampa nell'ultima opzione. Puoi sincerartene calcolando entrambi gli integrali che ho proposto (uno col metodo dei gusci cilindrici e il secondo con l'approccio classico di rotazione che volevi utilizzare).
La "formula sintetica" proposta da pilloeffe si applicherebbe (così com'è) solo e unicamente nel caso la $0<=x<=6$.
Ho anche scritto la versione corretta da applicare se non vuoi usare i gusci cilindrici...
Siamo franchi, il fatto è che non conosci i due metodi e per risolvere esercizi come questo è necessario conoscerli e capirne "le idee" che stanno dietro.
Non c'è nulla di "meccanico" in questo esercizio, devi bensì applicare delle idee (e quindi degli strumenti) nel modo corretto in base appunto alla richiesta del problema.
Nel momento in cui avrai studiato i due metodi e ti sarai chiarito cosa fanno, vedrai che tutto ciò che ho scritto sopra ti diverrà chiaro e potrai ricostruire da te i due integrali e infine ti sincererai del fatto che il risultato è $375pi$
"cri98":
ragazzi ho bisogno di capire cosa accade con un disegno: considero la funzione y=2x^2
Dunque, se utilizzi $y = f(x) = 2x^2 $ devi applicare l'altra formula proposta da Bokonon:
$ V = 2\pi \int_a^b |xf(x)| dx $
Se invece vuoi usare quella che hai scritto nell'OP, allora devi preventivamente ricavarti $x = sqrt{y/2} = sqrt{Y/2} $, per cui, dato che $ x = X + 6 $, ne consegue che $X = x - 6 = sqrt{Y/2} - 6 = f(Y) = sqrt{y/2} - 6 = f(y) $. Per la radice è chiaro che occorre prendere quella positiva perché siamo nel piano $y = Y >= 0 $: infatti per $x = 0 $ si ha $y = Y = 0 $, mentre per $x = 5 $ si ha $y = Y = 2\cdot (5)^2 = 2 \cdot 25 = 50 $
Per cui si ha:
$ V = \pi \int_{0}^{50} {[f(Y)]^2 - 1^2} dY = \pi \int_{0}^{50} {[f(y)]^2 - 1} dy = \pi \int_{0}^{50} {[sqrt{y/2} - 6]^2 - 1} dy = 375\pi $
che conferma il risultato che ti ha già scritto Bokonon.
"cri98":
$f(Y) = 2(X+6)^2 $
Scusa eh, ma se è una $f(Y) $ dovrà comparire $Y $ no? Altrimenti è una $f(X) $...
ciao ragazzi,
innanzitutto grazie per le vostre risposte.
$ V = \pi \int_{0}^{50} {[f(Y)]^2 - 1^2} dY = \pi \int_{0}^{50} {[f(y)]^2 - 1} dy = \pi \int_{0}^{50} {[sqrt{y/2} - 6]^2 - 1} dy = 375\pi $
una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla
Grazie!
innanzitutto grazie per le vostre risposte.
$ V = \pi \int_{0}^{50} {[f(Y)]^2 - 1^2} dY = \pi \int_{0}^{50} {[f(y)]^2 - 1} dy = \pi \int_{0}^{50} {[sqrt{y/2} - 6]^2 - 1} dy = 375\pi $
una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla
Grazie!
"cri98":
una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla
Beh, perché la funzione è definita per $0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione avviene intorno all'asse $x = 6 $ quindi occorre sottrarre il cilindro di raggio $1 = 6 - 5 $
"pilloeffe":
[quote="cri98"]una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla
Beh, perché la funzione è definita per $ 0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione avviene intorno all'asse $ x = 6 $ quindi occorre sottrarre il cilindro di raggio $ 1 = 6 - 5 $[/quote]
Grazie pilloeffe
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