Calcolare il volume di un solido dato dall'intersezione di una sfera ed un cilindro
CIao ragazzi,
Ho un dubbio su questo esercizio:
"Si calcoli il volume del solido dato dall'intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2<=16$ con il cilindro $x^2+y^2-4z<=0$. (Suggerimento: conviene far variare $\theta in [-\pi,\pi]$, invece che in $[0,2\pi]$)"
Allora so che la formula per calcolare il volume è $\int int int_D 1dxdydz$ Cosi sono passata alle coordinante cilindriche:
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta),(z=z):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventa:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=4, -\pi<=\theta<=\pi, (\rho^2)/4<=z<=sqrt{16-\rho^2} }$
Che ho calcolato così:
$\{(\rho^2+z^2<=16),(\rho^2-4z<=0):}$ e quindi $\{(-sqrt{16-\rho^2}<=z<=sqrt{16-\rho^2} ),(z>=(\rho^2)/4),(16-\rho^2>=0):}$
Ma credo che sia sbagliato anche perchè così non sfrutto neanche il suggerimento, che in questo caso non mi servirebbe a niente. Mi sembra che il dominio non abbia molto senso.....
Ho un dubbio su questo esercizio:
"Si calcoli il volume del solido dato dall'intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2<=16$ con il cilindro $x^2+y^2-4z<=0$. (Suggerimento: conviene far variare $\theta in [-\pi,\pi]$, invece che in $[0,2\pi]$)"
Allora so che la formula per calcolare il volume è $\int int int_D 1dxdydz$ Cosi sono passata alle coordinante cilindriche:
$\{(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta),(z=z):}$
e in questo modo il nuovo dominio diventa:
$T={(\rho,\theta,\varphi)inRR^3:0<=\rho<=4, -\pi<=\theta<=\pi, (\rho^2)/4<=z<=sqrt{16-\rho^2} }$
Che ho calcolato così:
$\{(\rho^2+z^2<=16),(\rho^2-4z<=0):}$ e quindi $\{(-sqrt{16-\rho^2}<=z<=sqrt{16-\rho^2} ),(z>=(\rho^2)/4),(16-\rho^2>=0):}$
Ma credo che sia sbagliato anche perchè così non sfrutto neanche il suggerimento, che in questo caso non mi servirebbe a niente. Mi sembra che il dominio non abbia molto senso.....
Risposte
Se non sbaglio tu non hai un cilindro ma un paraboloide. Hai l'intersezione tra il sopra di un paraboloide che è convesso verso l'alto e l'interno di una sfera.
http://it.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
Il suggerimento si riferisce probabilmente al fatto che ti spunterà una funzione pari in $ \theta $ su un intervallo simmetrico, anche se a prima vista non dovrebbe dipendere nulla da $ \theta $ visto che hai simmetria cilindrica del dominio.
http://it.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
Il suggerimento si riferisce probabilmente al fatto che ti spunterà una funzione pari in $ \theta $ su un intervallo simmetrico, anche se a prima vista non dovrebbe dipendere nulla da $ \theta $ visto che hai simmetria cilindrica del dominio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo