Calcolare il volume dell'insieme

[Gio23121]

Calcolare il volume dell'insieme : $ E={(x,y,z)\in R^3 : x^2+y^2+z^2<=(2z)^(4/3)} $

Ho provato a risolvere l'esericizio sia in coordinate sferiche che in coordinate cilindriche tuttavia in coordinate sferiche non riesco a ricavare un estremo superiore per $ rho $ mentre in coordinate cilindriche ho ricavato questo

$ rho^2+z^2<=(2z)^(4/3) $ da cui

$ 0<=rho<=sqrt((2z)^(4/3) - z^2 $

$ 0<=theta<=2pi $

$ 0<=z<=4 $

Non riesco però a risolvere l'integrale

[Bokonon]

Facciamo un ragionamento completo.
Abbiamo $x^2+y^2<=(2z)^(4/3)-z^2$ quindi l'idea è quella di sommare l'area di tante circonferenze al variare del raggio, che è in funzione di z.
Ci chiediamo allora come vari questo raggio e prendiamo $(2z)^(4/3)-z^2=0$ e scopriamo che per $z=+-4$ e $z=0$ il raggio è zero. Notiamo anche che è una funzione pari, quindi la somma totale del volume fra $-4 Tutto questo per dire che consideremo il volume per $0
L'area di un cerchio è $pir^2$ e $r^2=(2z)^(4/3)-z^2$ pertanto facendo $2pi*int_0^4 [(2z)^(4/3)-z^2]dz=256/21pi$ sommiamo le aree ottenendo il volume.

[Gio23121]

Grazie mille Bokonon , spiegazione chiarissima,ragionando sulla tua soluzione sono anche riuscito a impostare correttamente i due integrali tripli in coordinate cilindriche che mi hanno portato al tuo stesso risultato

[Bokonon]

Prego