Calcolare il seguente integrale

[aleas-votailprof]

$\intcos^2x dx = \int(1-sen^2x) dx = x-intsen^2 dx= 1/2(x+sen x cos x) +c$
questo quesito l'ho trovato nell'esame di oggi è giusto? grazie anticipatamente

[Aliseo1]

si è giusto

[aleas-votailprof]

grazie...l

[leena1]

"aleas":$x-intsen^2x dx= 1/2(x+sen x cos x) +c$

Ma questo passaggio l'hai giustificato o l'hai fatto direttamente così?

[orazioster]

Quando hai potenze pari di seno o coseno,
metodo generale è di formularle in funzione dell'angolo doppio;
quando hai una potenza dispari (>1!...), considerando $cos^x + sin^2x =1$, sostituire ed avere una
potenza pari di sin o cos, moltiplicata per l'altra funzione. Il che è la derivata della funzione composta sin (o cos) elevato a... .

Così:

$cos^2x = (1/2)(cos2x +1)$,
$cos^4x =(cos^2x)^2 = (1/4)(cos2x +1)^2 = (1/4)(cos^2(2x) +2cos2x +1) =(1/4)[(1/2)(cos4x +1) +2cos2x +1]$,

E:
$cos^6x = (cos^2x)^3 = (1/8)(cos2x +1)^3 = (1/8)( cos^3(2x) +3cos^2(2x) +3cos2x +1)=$
$= (1/8)[cos2x(1-sin^2(2x)) +3cos^2(2x) +3 cos2x +1]=(1/8)(4 cos2x +3cos^2(2x) +1 -sin^2(2x) cos2x)$.
Ora, $sin^2(2x)cos2x$ è appunto la derivata di $(1/3)(1/2)sin^3(2x)$ .

[Aliseo1]

Due sono i modi ancora più semplici per risolvere questo integrale

1° metodo

$ \int cos^2(x)dx= \int cos(x)*cos(x)dx = \int D(sin(x))*cos(x)dx= sin(x)*cos(x) + \int sin^2(x)dx = sin(x)cos(x) + \int (1-cos^2(x))dx = $
$ = sin(x)cos(x) + \int dx - \int cos^2(x)dx $. ora l'ultimo integrale lo porti al primo menbro, avendo così

$ 2\int cos^2(x)dx = sin(x)cos(x) + x $ ossia $ \int cos^2(x)dx = 1/2*(sin(x)cos(x) + x) + c $, con $ c in R $

2° metodo

lo svolgi inizialmente come hai scritto tu, solo che quando arrivi a $ -\int sin^2(x)dx $ la funzione la esprimi come prodotto di due funzioni $ -\int sin(x)*sin(x)dx $, ossia $ -\int D(-cos(x))sin(x) dx = sin(x)cos(x) - \int cos^2(x)dx $ e ritorni a quanto ti ho scritto prima

La logia è che quando hai funzioni trigonometriche elentate ad $ n in N_+ $ la funzione la scrivi come prodotto di due funzioni, di cui la prima risulta essere la derivata

es. $\int cos^4(x)dx=\int cos(x)*cos^3(x)dx= \int D(sin(x))*cos^3(x)dx= sin(x)cos^3(x) + \int sin(x)*[3cos^2(x)sin(x)]dx = sin(x)cos^3(x) + 3\int sin^2(x)cos^2(x)dx$ e procedi con lo stesso ragionamento che ti ho appena esposto ok?