Calcolare il limite, se esiste, della seguente successione

[BoG3]

Ciao a tutti, ho un problema:
devo studiare il limite di questa successione, se esiste. il suo termine $X_n$ è definito come:

$x_n := {(n+3^n, if n<=10),(3n^2+n, if n>10):}$

in questo caso devo studiare 2 limiti?

$\lim_{n \to - \infty}(n+3^n)$ e $\lim_{n \to + \infty}(3n^2+n)$ ?

nel primo caso dato che per numeri negativi $3^n$ tende a 0 posso aprossimare e non contarlo, ottengo che quindi il limite è $-n$.
Nel secondo caso basta notare che $n-> +\infty$ e quindi anche il solo $n^2$ mi fa capire che andra' all' infinito.

e ora? ho sbagliato? non ho sbagliato che rispondo? che per $n<=10$ ha limite mentre per $n>10$ no ?

grazie

[lemboannalisa]

Puoi benissimo non tenere conto di quello che fa la successione quando n<=10 visto che l'esercizio chiede di trovare il comportamento per n che tende a +∞. Inoltre non si può calcolare il limite di una successione per n che tende a -∞ perchè n è un naturale. Quindi è giusto dire che la successione diverge positivamente.

[Antimius]

Puoi dire che il limite esiste. Solitamente si considera il limite appartenente alla retta reale estesa: $l in bar(RR)=RRuu{-infty,+infty}$. Perciò, esiste, ma NON FINITO.
Equivalentemente puoi dire che la successione diverge (positivamente).

[BoG3]

ma se avessi una situazione del genere:

$x_n := {1/(5+a^n)^n}$ dove $a in RR$

io ho pensato: prima di tutto il campo di esistenza: $(a+a^n) !=0$:
$(5+a^n)^n =0$ tutti i numeri sono diversi za 0 se hanno un esponente, quindi dipende tutto dalla bale, la base deve essere diversa da 0:
$(5+a^n) != 0$ ovvero solo quando $a^n = -5$ usando i logaritmi posso scrivere:
$n= log_a (-5)$ ma il log esiste solo per numeri positivi! quindi vale sempre.

poi penso a quando tra $5$ e $5^n$ è predominante l'uno e quando l'altro?

quando $5^n < a^(n^2)$ ?
$ln (5^n) < ln (a^(n^2))$

$n*ln (5) < n^2*ln (a)$

$(n*ln (5))/( n^2*ln (a)) < 0$

$(ln (5))/( n*ln (a)) < 0$

ora dato k $ln(5)$ è positivo, per forza di cose per ottenere un risultato negativo deve essere $n*ln (a)) < 0$
ora o $n<0$ o $ln(a) <0$. dato che $n in NN$ vuoldire che deve essere $ln a <0$ ovvero $a in [0,1]$

quindi ottengo che per $a in [0,1]$ il termine predominante è $1/5^n$ e quindi il limite è $lim_{n \to +\infty}1/5^n = 0$
mentre per $a > 1$ il termine preponderante è $a^(n^2)$ e quindi il limite è $lim_{n \to +\infty}a^(n^2) = +\infty$

puo' funzionare un ragionamento del genere? spero di nn aver sparato troppe cavolate ma ho mia madre che continua a dirmi cosa devo comprare x la cena.. come scegliere le uova, il formaggio ecc... nn mi da un secondo di tregua :\