Calcolare il limite di una funzione un po' particolare

[Ghezzabanda]

Il problema dice quanto segue:
Sia $x in QQ-{0}$, esiste allora esattamente una copia $(p,q) in ZZ x NN^+$ con $x=p/q$ con $p,e$ che non hanno un divisore in comune. $q$ si chiama "denominatore" e lo indichiamo con $omega(x)$.
Sia $f: RR rarr RR$ definita come segue:
- $f(x)=0$ se $ x=0 vv x !in QQ$
- $f(x)=1/(omega(x))$ se $x in QQ-{0}$

Mostrare che $AA a in RR$ vale che $lim_{x->a}f(x)=0

[Fioravante Patrone1]

frazioni con denominatore piccolo quando siano ridotte ai minimi termini ce ne sono poche
e quindi si "sistemano" facilmente

[Piera4]

Questa è la funzione di Lebesgue. Può darsi che nel tuo libro sia collocata nella teoria dell'integrazione, visto che è un esempio di funzione integrabile secondo Riemann senza essere continua, monotona e generalmente continua.
Da qualche parte in questo topic ho riportato la dimostrazione che la funzione non è continua.
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... ght=#53848

[Ghezzabanda]

Prima di tutto di devo ringraziale di cuore! Qui di seguito riporto la dimostrazione che avevi scritto nell'altro post:

"Piera":Non ho letto tutti i vostri post, comunque ,sperando che sia d’aiuto, riporto la dimostrazione del mio libro.
Cambio le lettere della funzione, cioè sia
f(x) = 0 se x irrazionale , f(x) = 1/q se x è il razionale p/q
Sia x0 un punto qualsiasi ( di ascissa razionale o irrazionale) e sia n un numero intero positivo fissato. Costruiamo degli insiemi di numeri razionali I(1), I(2),…,I(h),…,I(n) dove I(h) è definito nel modo seguente:
I(h) = { x : x = m/h con m e h primi tra loro}
Fra i numeri della classe I(1) indichiamo con m’(1) il massimo tra quelli che sono minori di x0 e con m’’(1) il minimo tra quelli che sono maggiori di x0. In modo analogo indicheremo m’(2) e m’’(2) per la classe I(2) e cosi’ via fino alla classe I(n).
Indichiamo poi con s’(n) il massimo tra m’(1), m’(2),…,m’(n) e con s’’(n) il minimo tra m’’(1),…,m’’(n). Risulta allora che l’intervallo ( s’(n) , s’’(n) ) conterrà x0 , inoltre tutti i numeri razionali che cadono in esso avranno denominatore q > n (escluso al più x0 ).
Preso allora un epslon > 0 fissiamo un n tale che n > 1/ epslon e procediamo alla costruzione di cui sopra in modo da pervenire all’individuazione di un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0.
Fra i punti di tale intorno (diversi da x0) ce ne saranno infiniti di ascissa razionale p/q ( con q > n), in cui f vale 1/q , ed infiniti di ascissa irrazionale in cui f vale 0.
Avremo quindi in un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0 ( x0 al più escluso) che
f(x) = 1/q < 1/n < epslon sui punti di ascissa razionale
f(x) = 0 sui punti di ascissa irrazionale
per cui sarà per ogni x di ( s’(n) , s’’(n) ) –x0
0 <= f(x) < epsoln da cui segue che
lim f(x) = 0 quale che sia x0
x->x0


Risulta allora
lim f(x) = 0 = f(x0) se x0 è irrazionale
x->x0

lim f(x) = 0 diverso da f(x0) se x0 è razionale
x->x0
e quindi, per definizione di continuità , f è continua nei punti irrazionali e discontinua in quelli razionali.

Ora però dovrei farti un paio di domande:
- a quale scopo devo definire più insiemi I(h) e non ne basta uno? Non devo limitarne in qualche modo con n il numero di elementi che contengono? Perché se ne contiene infiniti è un po' dura dire di prendere il max fra ogni I(h)
- Non è possibile scegliere subito $n>1/epsilon$?
- come fai a dire che "tutti i numeri razionali che cadono in esso avranno denominatore q > n"?
- quando dici
0 <= f(x) < epsoln da cui segue che
lim f(x) = 0 quale che sia x0
x->x0

in pratica bisogna fare tendere epsilon a zero giusto?

[Piera4]

1) se ne definisci uno solo degli I(h) tutto il ragionamento salta. Pensaci bene, magari con un esempio numerico, in ogni insieme I(h) ci sono infiniti razionali minori di x0 e infiniti maggiori di x0, e tra questi ci sarà il massimo tra quelli minori di x0 e il minimo di quelli maggiori di x0.

2) Certo

3) Consideriamo l'intervallo (S'(n), S''(n)) e indichiamolo con (*).
S'(n) è il massimo dei razionali trovati ( m’(1), m’(2),…,m’(n))minori di x0, questo significa che tutti i razionali rimasti del tipo m’(1), m’(2),…,m’(n), ovvero con denominatore al massimo n, sono più piccoli e quindi non possono appartenere ad (*).
Allo stesso modo con S''(n) si prende il più piccolo razionale maggiore di x0 e quindi tutti gli altri razionali con denominatore al massimo n si troveranno fuori da (*).
Da questo segue che tutti i razionali di (*) avranno q > n.

4) In pratica si.

[Ghezzabanda]

Inannzitutto grazie dellapazienza!
Ora però ci sono un paio di cose che non mi tornano!

"Piera":1) se ne definisci uno solo degli I(h) tutto il ragionamento salta. Pensaci bene, magari con un esempio numerico, in ogni insieme I(h) ci sono infiniti razionali minori di x0 e infiniti maggiori di x0, e tra questi ci sarà il massimo tra quelli minori di x0 e il minimo di quelli maggiori di x0.

Anche se io prendo un solo I(h) al suo interno trovero il massimo tra i minori di x0 e il min tra i maggiori di x0! no?

"Piera":3) Consideriamo l'intervallo (S'(n), S''(n)) e indichiamolo con (*).
S'(n) è il massimo dei razionali trovati ( m’(1), m’(2),…,m’(n))minori di x0, questo significa che tutti i razionali rimasti del tipo m’(1), m’(2),…,m’(n), ovvero con denominatore al massimo n, sono più piccoli e quindi non possono appartenere ad (*).
Allo stesso modo con S''(n) si prende il più piccolo razionale maggiore di x0 e quindi tutti gli altri razionali con denominatore al massimo n si troveranno fuori da (*).
Da questo segue che tutti i razionali di (*) avranno q > n.

Come fai a dire che hanno denominatore al max n? non riesco ad intravvedere che relazioni fai tra n e i numeri razionali che metti negli insiemi! Nel senso n non è solo il numero degli insiemi iniziali? Evidentementeno, ci deve essere qualche condizione sui numeri all'interno degli intervalli I8h) per poter fare questo ragionameno!

[Piera4]

1) si, ma cosi facendo non trovi un intorno di x0 $(S'_n, S''_n)$ tale che $f(x)=1/q<1/n che è proprio quello che ci serve.

2) Supponiamo che $S'_n=m'_3=2/3$, dove $m'_3$ è il più grande razionale minore di x0 nell'insieme dei razionali del tipo $m/3$. Questo significa che tutti gli altri razionali del tipo $m/1$ ( cioè appartenenti a $I_1$),...., $m/n$ (cioè appartenenti a $I_n$), si trovano sulla retta reale prima di $S'_n=m'_3=2/3$, quindi i razionali che rimangono avranno nell'intervallo $(S'_n, S''_n)$ denominatore maggiore di $n$.

[Ghezzabanda]

"Piera":1) si, ma cosi facendo non trovi un intorno di x0 $(S'_n, S''_n)$ tale che $f(x)=1/q<1/n che è proprio quello che ci serve.

2) Supponiamo che $S'_n=m'_3=2/3$, dove $m'_3$ è il più grande razionale minore di x0 nell'insieme dei razionali del tipo $m/3$. Questo significa che tutti gli altri razionali del tipo $m/1$ ( cioè appartenenti a $I_1$),...., $m/n$ (cioè appartenenti a $I_n$), si trovano sulla retta reale prima di $S'_n=m'_3=2/3$, quindi i razionali che rimangono avranno nell'intervallo $(S'_n, S''_n)$ denominatore maggiore di $n$.

Ok, ora è tutto molto più chiaro! Mi era sfuggito che in I(h) ci possono essere solo numeri con denominatore pari ad h! scusa! che idiota! Mea culpa!

Grazie mille comunque della pazienza!