Calcolare il limite, con parametro reale positivo.
Salve a tutti, devo risolvere il seguente limite, con parametro reale positivo.
\(\displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n})^n}=
\lim_n{(\frac{n^2(4+\frac{1}{n^2})}{\alpha n^2(1+\frac{3}{\alpha n})})^n}=
\lim_n{(\frac{4}{\alpha})^n}=
\lim_n{\frac{4^n}{\alpha^n}}
\)
Se \(\displaystyle 4^n < \alpha ^n \) il limite converge a 0.
Se \(\displaystyle 4^n > \alpha ^n \) il limite diverge positivamente.
Se \(\displaystyle 4^n = \alpha ^n \) il limite converge a 1.
Mi sa che sto sbagliando, potreste dirmi come la risolvereste?
\(\displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n})^n}=
\lim_n{(\frac{n^2(4+\frac{1}{n^2})}{\alpha n^2(1+\frac{3}{\alpha n})})^n}=
\lim_n{(\frac{4}{\alpha})^n}=
\lim_n{\frac{4^n}{\alpha^n}}
\)
Se \(\displaystyle 4^n < \alpha ^n \) il limite converge a 0.
Se \(\displaystyle 4^n > \alpha ^n \) il limite diverge positivamente.
Se \(\displaystyle 4^n = \alpha ^n \) il limite converge a 1.
Mi sa che sto sbagliando, potreste dirmi come la risolvereste?
Risposte
C'eri quasi.
prima di tutto c'è un refuso(hai scritto $ln^2$ al posto di $\alpha n^2$ nel primo limite).
Poi per prima cosa visto che dividi per $\alpha$ al primo passaggio devi imporre $\alpha\ne 0$ e studiare esplicitamente il caso $\alpha=0$ se lo studi ottieni che il limite è $+\infty$.
Detto questo fai tutti i passaggi fino al penultimo passaggio(dai fuoco all'ultimo passaggio con la migliore benzina che hai in casa). Hai ottenuto che
$$
\lim_{n\to +\infty}\left(\frac 4 \alpha\right)^n
$$
E qui hai finito. Infatti hai ottenuto una progressione geometrica, cioè hai una successione del tipo $q^n$ adesso è chiaro che se $q>1$ hai un esponenziale strettamente crescente quindi il limite fa $+\infty$, se $-1
Per completare l'esercizio devi solo risolvere in $\alpha$ tutti i vari casi che ti ho scritto per $q$, dove ti ricordo che nel tuo caso $q=\frac 4 \alpha$.
prima di tutto c'è un refuso(hai scritto $ln^2$ al posto di $\alpha n^2$ nel primo limite).
Poi per prima cosa visto che dividi per $\alpha$ al primo passaggio devi imporre $\alpha\ne 0$ e studiare esplicitamente il caso $\alpha=0$ se lo studi ottieni che il limite è $+\infty$.
Detto questo fai tutti i passaggi fino al penultimo passaggio(dai fuoco all'ultimo passaggio con la migliore benzina che hai in casa). Hai ottenuto che
$$
\lim_{n\to +\infty}\left(\frac 4 \alpha\right)^n
$$
E qui hai finito. Infatti hai ottenuto una progressione geometrica, cioè hai una successione del tipo $q^n$ adesso è chiaro che se $q>1$ hai un esponenziale strettamente crescente quindi il limite fa $+\infty$, se $-1
Per completare l'esercizio devi solo risolvere in $\alpha$ tutti i vari casi che ti ho scritto per $q$, dove ti ricordo che nel tuo caso $q=\frac 4 \alpha$.
Considerano alpha, come parametro reale positivo>0, pensavo non ci fosse bisogno. 
Ho capito il fatto della progressione geometrica, ma mi sfugge questa cosa:
Potresti farmi un esempio?
"Bossmer":Ahah.
Detto questo fai tutti i passaggi fino al penultimo passaggio(dai fuoco all'ultimo passaggio con la migliore benzina che hai in casa).
Ho capito il fatto della progressione geometrica, ma mi sfugge questa cosa:
"Bossmer":
Per completare l'esercizio devi solo risolvere in $\alpha$ tutti i vari casi che ti ho scritto per $q$, dove ti ricordo che nel tuo caso $q=\frac 4 \alpha$.
Potresti farmi un esempio?
A cavolo, si scusa non ho fatto attenzione che $\alpha$ fosse positivo XD
Beh comunque non cambia niente, se $\alpha>0$ allora $q=\frac 4 \alpha>0$ quindi hai solo i casi $01$
Niente quello che volevo dire che adesso devi risolvere in $\alpha$ cioè se sai che per $q>1$ allora il limite diverge positivamente allora risolvi la disequazione per trovare per quali $\alpha$ vale questo risultato cioè sostituisci al posto di $q$ il suo valore e risolvi la disequazione cioè
$$
q>1 \rightarrow \frac 4 \alpha >1 \rightarrow \alpha<4
$$
Quindi il limite diverge positivamente per $0<\alpha<4$
e fai questo per gli altri 3 casi
Beh comunque non cambia niente, se $\alpha>0$ allora $q=\frac 4 \alpha>0$ quindi hai solo i casi $0
Niente quello che volevo dire che adesso devi risolvere in $\alpha$ cioè se sai che per $q>1$ allora il limite diverge positivamente allora risolvi la disequazione per trovare per quali $\alpha$ vale questo risultato cioè sostituisci al posto di $q$ il suo valore e risolvi la disequazione cioè
$$
q>1 \rightarrow \frac 4 \alpha >1 \rightarrow \alpha<4
$$
Quindi il limite diverge positivamente per $0<\alpha<4$
e fai questo per gli altri 3 casi
Se \[ \alpha<4 \] diverge positivamente.
Se \[ \alpha>4 \] converge a zero.
Se \[ \alpha=4 \] converge a 1.
Dici cosi?
Se \[ \alpha>4 \] converge a zero.
Se \[ \alpha=4 \] converge a 1.
Dici cosi?
Esattamente
Ho visto la soluzione della professoressa. 
Ma non sono molto convinto su alcune cose, ti spiego cosa ha fatto.
\( \displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n})^n}= \lim_n{e^{nlog\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}}} \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
+\infty & 4 > \alpha \\
0 & 4 < \alpha \\
forma-indeterminata & 4 = \alpha
\end{matrix}\right. \)
Sia \(\displaystyle \alpha=4 \)
\(\displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{4n^2+3n})^n}=
\lim_n{(\frac{4n^2+3n-3n+1}{4n^2+3n})^n}=
\lim_n{(1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}})^n}=
\lim_n{\left [ 1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}} \right ]^{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}*n*\frac{-3n+1}{4n^2+3n}}}=
\lim_n{\left \{\left [ 1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}} \right ]^{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}}\right \}^{\frac{-3n^2+n}{4n^2+3n}}}=e^{\frac{-3}{4}} \)
Spero di aver fatto i passaggi corretti.
Quindi un pò diversa.
P.s. In latex per i testi come faccio a dare una spaziatura?
Ma non sono molto convinto su alcune cose, ti spiego cosa ha fatto.
\( \displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n})^n}= \lim_n{e^{nlog\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}}} \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
+\infty & 4 > \alpha \\
0 & 4 < \alpha \\
forma-indeterminata & 4 = \alpha
\end{matrix}\right. \)
Sia \(\displaystyle \alpha=4 \)
\(\displaystyle \lim_n{(\frac{4n^2+1}{4n^2+3n})^n}=
\lim_n{(\frac{4n^2+3n-3n+1}{4n^2+3n})^n}=
\lim_n{(1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}})^n}=
\lim_n{\left [ 1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}} \right ]^{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}*n*\frac{-3n+1}{4n^2+3n}}}=
\lim_n{\left \{\left [ 1+\frac{1}{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}} \right ]^{\frac{4n^2+3n}{-3n+1}}\right \}^{\frac{-3n^2+n}{4n^2+3n}}}=e^{\frac{-3}{4}} \)
Spero di aver fatto i passaggi corretti.
Quindi un pò diversa.
P.s. In latex per i testi come faccio a dare una spaziatura?
Si scusa che fesso... il caso $\alpha=4$ non fa $1$ va studiato con il limite di nepero, ho sbagliato io... è giusto il suo.
tuttavia il primo passaggio che fa la tua prof per gli studiare gli altri casi non è necessario, quanto abbiamo detto prima va benissimo e non è minimamente in contraddizione con quello che fa la tua prof, è solo un altro modo di procedere.
P.s. devi usare il comando \, oppure \hspace{5pt} dove 5 è a caso puoi mettere 15 20 quello che vuoi..
tuttavia il primo passaggio che fa la tua prof per gli studiare gli altri casi non è necessario, quanto abbiamo detto prima va benissimo e non è minimamente in contraddizione con quello che fa la tua prof, è solo un altro modo di procedere.
P.s. devi usare il comando \, oppure \hspace{5pt} dove 5 è a caso puoi mettere 15 20 quello che vuoi..
Perdonami, ma come capisco, come poter capire come nel caso $ \alpha=4 $, che andava studiato con il numero di nepero e non come avevo fatto io erroneamente.
Perché come avevo fatto io ingenuamente è sbagliato, come poter capire che fare in quel modo è sbagliato?
Un piccolo dubbio in:
\( \displaystyle \lim_n{e^{nlog\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}}} \)
\( \displaystyle 4 > \alpha \), il logaritmo è positivo, n per un numero positivo fa più infinito, e elevato a più infinito fa +inf.
\( \displaystyle 4 < \alpha \), il logaritmo è negativo, n per un numero negativo fa meno infinito, e elevato a meno infinito fa 0.
Giusto?
Perché come avevo fatto io ingenuamente è sbagliato, come poter capire che fare in quel modo è sbagliato?
Un piccolo dubbio in:
\( \displaystyle \lim_n{e^{nlog\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}}} \)
\( \displaystyle 4 > \alpha \), il logaritmo è positivo, n per un numero positivo fa più infinito, e elevato a più infinito fa +inf.
\( \displaystyle 4 < \alpha \), il logaritmo è negativo, n per un numero negativo fa meno infinito, e elevato a meno infinito fa 0.
Giusto?
Lo capisci perché nel caso $\alpha=4$ hai la forma indeterminata $[1^\infty]$ che di solito si risolve col limite di nepero...
per il logaritmo, a mio avviso è un ragionamento inutilmente più complicato e il ragionamento fatto prima va benissimo.
In ogni caso... l'argomento del logaritmo NON può essere negativo!!!!
e in ogni caso per non esiste nessun $\alpha>0$ che rende negativo l'argomento del logaritmo... al massimo tu hai che il logaritmo è positivo quando il suo argomento è maggiore di $1$ mentre è negativo quando l'argomento è compreso fra $0$ e $1$.
Però se studiamo il primo caso ottieni la condizione
$$
\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}>1\rightarrow \alpha<\frac{4n^2-3n+1}{n^2}=4-\frac 3n+\frac{1}{n^2} \to 4 \rightarrow \alpha<4
$$
quindi possiamo dire che per $\alpha<4$ l'argomento del logaritmo è definitivamente maggiore di $1$ quindi il logaritmo è definitivamente positivo, quindi moltiplicato per $n$ che sempre positivo e tende a più infinito abbiamo che l'esponente di $e$ è definitivamente positivo e tende a più infinito quindi il limite è $+\infty$.
Allo stesso modo risolvi l'altra condizione cioè che l'argomento del logaritmo sia compreso tra 0 e 1.
per il logaritmo, a mio avviso è un ragionamento inutilmente più complicato e il ragionamento fatto prima va benissimo.
In ogni caso... l'argomento del logaritmo NON può essere negativo!!!!
e in ogni caso per non esiste nessun $\alpha>0$ che rende negativo l'argomento del logaritmo... al massimo tu hai che il logaritmo è positivo quando il suo argomento è maggiore di $1$ mentre è negativo quando l'argomento è compreso fra $0$ e $1$. Però se studiamo il primo caso ottieni la condizione
$$
\frac{4n^2+1}{\alpha n^2+3n}>1\rightarrow \alpha<\frac{4n^2-3n+1}{n^2}=4-\frac 3n+\frac{1}{n^2} \to 4 \rightarrow \alpha<4
$$
quindi possiamo dire che per $\alpha<4$ l'argomento del logaritmo è definitivamente maggiore di $1$ quindi il logaritmo è definitivamente positivo, quindi moltiplicato per $n$ che sempre positivo e tende a più infinito abbiamo che l'esponente di $e$ è definitivamente positivo e tende a più infinito quindi il limite è $+\infty$.
Allo stesso modo risolvi l'altra condizione cioè che l'argomento del logaritmo sia compreso tra 0 e 1.
Perfetto, capito tutto.
Quindi quando ho la forma indeterminata [1∞] , si risolve col limite di nepero.
Dubbio: https://www.youtube.com/watch?v=YE4Am3M ... e&t=29m15s
Ti ringrazio.
Quindi quando ho la forma indeterminata [1∞] , si risolve col limite di nepero.
Dubbio: https://www.youtube.com/watch?v=YE4Am3M ... e&t=29m15s
Ti ringrazio.
Qual'è il tuo dubbio specifico?
Nel video, al minuto che ti ho postato fa vedere che \(\displaystyle \lim_{n->\infty }1^{n}=1 \), quindi non dovrebbe essere una forma indeterminata?
Si ma ascolta anche quello che dice prima... ti dice che non possiamo fare prima il limite sotto la potenza dire che fa 1 sostituirlo e poi fare il limite di $1^n$ ... al massimo se ascolti il video da quando scrive il "teorema di sostituzione" il tuo dubbio dovrebbe essere perché nel nostro caso possiamo procedere senza il logaritmo come ha fatto la tua prof quando $\alpha\ne 4$...
"Bossmer":
Si ma ascolta anche quello che dice prima... ti dice che non possiamo fare prima il limite sotto la potenza dire che fa 1 sostituirlo e poi fare il limite di $1^n$ ...
A quale minuto ti riferisci?
Il mio dubbio è la forma indeterminata, \( \displaystyle \lim_{n->\infty }1^{n} \), che lui dice che in quel caso fa 1.
Mi sfugge qualcosa.
inizia ad ascoltare il video dal minuto 15:25
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