Calcolare il limite
Ciao a tutti, ho provato a risolvere il seguente esercizio, arrivando ad una forma di indeterminazione $0/0$.
ES. Calcolare il seguente limite: $lim_(x->pi) (int_(pi)^(x) (siny)/y dy)/(sin^2 (x-pi))$
Ho seguito questo procedimento:
ottenendo $->lim_(x->pi) (-1/pi +1/pi - 0*1)/(sin^2(pi-pi)) =0/0$
e l'unica trasformazione che mi viene in mente è per $2ln x -> ln a=int_(1)^(a) 1/x dx$ ma essendo comunque moltiplicato per zero è inutile.
L'esercizio non è risolto se ottengo una forma indeterminata giusto?
Spero in qualche suggerimento.
Grazie a Chiunque si interesserà
ES. Calcolare il seguente limite: $lim_(x->pi) (int_(pi)^(x) (siny)/y dy)/(sin^2 (x-pi))$
Ho seguito questo procedimento:
ottenendo $->lim_(x->pi) (-1/pi +1/pi - 0*1)/(sin^2(pi-pi)) =0/0$
e l'unica trasformazione che mi viene in mente è per $2ln x -> ln a=int_(1)^(a) 1/x dx$ ma essendo comunque moltiplicato per zero è inutile.
L'esercizio non è risolto se ottengo una forma indeterminata giusto?
Spero in qualche suggerimento.
Grazie a Chiunque si interesserà
Risposte
Non puoi approssimare quel numero ad 1, ma qui non è l'errore in quanto [tex]\sin\pi=0[/tex]; inoltre ottenendo [tex]\frac{0}{0}[/tex] l'esercizio non è risolto. C'aggiungo che la funzione integrale al numeratore non è elementarmente integrabile come puoi vedere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_integrali_trigonometriche, devi applicare de l'Hôpital!
Come dice j18eos, usa De l'Hopital ed il Teorema Fondamentale dell'Algebra
"Raptorista":
Come dice j18eos, usa De l'Hopital ed il Teorema Fondamentale dell'Algebra
Dell'algebra
forse dell'analisi!
"j18eos":
[quote="Raptorista"]Come dice j18eos, usa De l'Hopital ed il Teorema Fondamentale dell'Algebra
Dell'algebra
forse dell'analisi![/quote]Vero, lapsus mio! Volevo dire il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
Grazie ad Entrambi per le risposte!
provo con de l'Hôpital ed il teorema fondamentale, come mi avete suggerito (spero di non trovare altri problemi..).
Grazie ancora!
provo con de l'Hôpital ed il teorema fondamentale, come mi avete suggerito (spero di non trovare altri problemi..).
Grazie ancora!
Grandissimo dubbio all'inizio del procedimento 
la derivata del numeratore, è $siny/y$? [non ne sono sicuro perchè non mi è mai capitato una derivata di un integrale definito] o forse dovrei svolgere l'integrale quindi fare la derivata di questa roba qua $cosx/x - cos pi/pi - (sinx*2lnx-sin pi * 2ln pi)$
per la derivata del denominatore $2cos(x-pi)=2cos0=2$
Credo di aver proprio bisogno di un altro aiutino
Grazie!
la derivata del numeratore, è $siny/y$? [non ne sono sicuro perchè non mi è mai capitato una derivata di un integrale definito] o forse dovrei svolgere l'integrale quindi fare la derivata di questa roba qua $cosx/x - cos pi/pi - (sinx*2lnx-sin pi * 2ln pi)$
per la derivata del denominatore $2cos(x-pi)=2cos0=2$
Credo di aver proprio bisogno di un altro aiutino
Grazie!
Al numeratore non hai un integrale definito, bensì una funzione integrale: è diverso!
Ho citato il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale proprio per dirti che, quando applichi De l'Hopital, la derivata della funzione integrale è l'integranda [è proprio questo il significato di quel teorema]
Ho citato il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale proprio per dirti che, quando applichi De l'Hopital, la derivata della funzione integrale è l'integranda [è proprio questo il significato di quel teorema]
Grazie del chiarimento
ho sempre avuto problemi con questo teorema, il libro dopo che definisce un intervallo I di $RR$ e una $f$ localmente integrabile...dicendomi che $F(x)$ è continua in I e lipschitziana in ogni intervallo limitato di I enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale: Sia $f$ una funzione continua in nell'intervallo aperto I. La funzione integrale $F$ di $f$ è una primitiva della funzione $f$ in $I$.
l'integranda sarebbe $siny/y$
però non posso usare il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x=1$ perchè il mio limite tende a $pi$ giusto?
allora il limite dovrebbe risultare $siny/(2y)$ spero di non aver sbagliato ancora.
ho sempre avuto problemi con questo teorema, il libro dopo che definisce un intervallo I di $RR$ e una $f$ localmente integrabile...dicendomi che $F(x)$ è continua in I e lipschitziana in ogni intervallo limitato di I enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale: Sia $f$ una funzione continua in nell'intervallo aperto I. La funzione integrale $F$ di $f$ è una primitiva della funzione $f$ in $I$.
l'integranda sarebbe $siny/y$
però non posso usare il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x=1$ perchè il mio limite tende a $pi$ giusto?
allora il limite dovrebbe risultare $siny/(2y)$ spero di non aver sbagliato ancora.
Nulla ti impedisce di cambiare opportunamente le variabili in gioco!
P.s. dopo aver derivato, ricorda di rimettere la $x$ al posto della $y$, che è solo una variabile muta.
P.s. dopo aver derivato, ricorda di rimettere la $x$ al posto della $y$, che è solo una variabile muta.
"Raptorista":
Nulla ti impedisce di cambiare opportunamente le variabili in gioco!
P.s. dopo aver derivato, ricorda di rimettere la $x$ al posto della $y$, che è solo una variabile muta.
Scusami ma non capisco, ti riferisci forse al limite notevole? cioè cambio la variabile $y$ in $x$, ma posso applicare il limite notevole anche se il limite che ho tende a $pi$?
in caso affermativo avrei come risultato che il limite (e quindi esercizio) $=1/2$, è corretto?
Non intendevo quello, ma se il tuo limite è per la variabile $x$ che tende a $x_0$, basta definire la nuova variabile $t=x-x_0$ e riscrivere il limite come $\lim_{t \to 0}$, sostituendo nella funzione le $x$ con le $t$ secondo la "definizione".
aaaaaaaaa..... ho capito 
$lim_(x->pi) (siny/y)/2 -> t=x-x_0 -> lim_(t->0) (sin t/t)/2 = 1/2$(limite notevole)
quindi posso affermare che $lim_(x->pi) (int_(pi)^(x) (siny)/y dy)/(sin^2 (x-pi))=1/2$ ed esercizio risolto!
Grazie Mille per tutto il tuo aiuto!!!
$lim_(x->pi) (siny/y)/2 -> t=x-x_0 -> lim_(t->0) (sin t/t)/2 = 1/2$(limite notevole)
quindi posso affermare che $lim_(x->pi) (int_(pi)^(x) (siny)/y dy)/(sin^2 (x-pi))=1/2$ ed esercizio risolto!
Grazie Mille per tutto il tuo aiuto!!!
Momento, momento, momento, momento, momento....
Quando vai a sostituire la $t$ con la $y$ (che poi dovrebbe essere una $x$) devi farlo con cognizione di causa!!
Se hai detto che $t=x-\pi$, allora devi sostituire $x=t+\pi$, non semplicemente cambiare le variabili!
Quando vai a sostituire la $t$ con la $y$ (che poi dovrebbe essere una $x$) devi farlo con cognizione di causa!!
Se hai detto che $t=x-\pi$, allora devi sostituire $x=t+\pi$, non semplicemente cambiare le variabili!
mi sono fatto prendere dalla felicità..$lim_(t->0) (sin(t+pi)/(t+pi))$$/2=1/2$
però mi sorge un dubbio: nel testo ho $x$ e $y$ e il lim è per $x$ che tende a $pi$... non è che la $y$ si dovrebbe lasciare dovè ed il limite risulta $siny/(2y)$?
In questo caso la $y$ è una variabile muta, si mette per non riusare la $X4 che è già nella funzione integrale, ma una volta tolta quest'ultima la puoi benissimo sostituire con una $x$.
Grazie sei stato chiarissimo!!
Ciao
Ciao
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