Calcolare il limite

[angelox9]

Salve a tutti,
ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e^{(1+ \frac{1}{n})} -e]^2}{\frac{1}{n}sin[\pi(1+\frac{1}{n})]}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e(e^{\frac{1}{n}} -1)]^2}{\frac{1}{n}sin(\pi+\frac{\pi}{n})}= \)
Ricordando la formula degli archi associati del seno(che io non ricordavo).
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{[e(e^{\frac{1}{n}} -1)]^2}{\frac{1}{n}(-sin(\frac{\pi}{n}))}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ \frac{e(e^{\frac{1}{n}} -1)}{\frac{1}{n}n} \right ]^2
\frac{n}{\frac{(-sin(\frac{\pi}{n}))}{\frac{\pi}{n}\frac{n}{\pi}}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ \frac{e(e^{\frac{1}{n}} -1)}{\frac{1}{n}n} \right ]^2
\frac{n\frac{n}{\pi}}{\frac{(-sin(\frac{\pi}{n}))}{\frac{\pi}{n}}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ \frac{e(e^{\frac{1}{n}} -1)}{\frac{1}{n}n} \right ]^2
\frac{\frac{n^2}{\pi}}{\frac{(-sin(\frac{\pi}{n}))}{\frac{\pi}{n}}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left [ \frac{e(e^{\frac{1}{n}} -1)}{\frac{1}{n}n} \right ]^2
\frac{-\frac{n^2}{\pi}}{\frac{(sin(\frac{\pi}{n}))}{\frac{\pi}{n}}}= \)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{e^2}{n^2}\frac{-n^2}{\pi}=-\frac{e^2}{\pi} \)

Corretto?

[pilloeffe]

Ciao angelok90,

Nello svolgimento hai fatto un po' di operazioni "sovrabbondanti" e c'è un $\lim $ di troppo nell'ultima riga, ma il risultato è corretto...

[angelox9]

Ciao pilloeffe, posso chiederti come avresti fatto tu?

[pilloeffe]

Ciao angelok90,

Io avrei fatto così:

$\lim_{n to +\infty} \frac{[e(e^{\frac{1}{n}} -1)]^2}{\frac{1}{n}(-sin(\frac{\pi}{n}))}= - e^2 \lim_{n to +\infty} \frac{(e^{\frac{1}{n}} -1)^2}{(\frac{1}{n})^2}\cdot frac{1/n}{sin(\frac{\pi}{n})}=$
$= - \frac{e^2}{\pi} \lim_{n to +\infty} (\frac{e^{\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}})^2 \cdot frac{\pi/n}{sin(\frac{\pi}{n})} = - \frac{e^2}{\pi}$