Calcolare il limite
salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
$\lim_{x\rightarrow -\infty }( 1-cos\frac{1}{\sqrt{ | x |}} ) ( \sqrt{x^{2}-4x+cos^{2}x} +x )\cdot e^{-x}$
se mi potete aiutare spiegandomi
come poter iniziare a risolverlo..
grazie
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
$\lim_{x\rightarrow -\infty }( 1-cos\frac{1}{\sqrt{ | x |}} ) ( \sqrt{x^{2}-4x+cos^{2}x} +x )\cdot e^{-x}$
se mi potete aiutare spiegandomi
come poter iniziare a risolverlo..
grazie
Risposte
Dovresti prima dare un esempio di risoluzione...
Lo metto sotto spoiler e mi affido alla tua onestà intellettuale
Se hai dubbi chiedi!
Lo metto sotto spoiler e mi affido alla tua onestà intellettuale
Se hai dubbi chiedi!
scusa non ho potuto fare a meno a non guardare lo spoiler...
mi sono accorto che hai usato il limite solamente all'infinito...
invece il testo dice per -infinito...
se mi potresti aiutare spiegandomi passaggio per passaggio...
e come fai a togliere il valore assoluto...
fammi sapere...
sto impazzendo a risolverlo..
grazie..
mi sono accorto che hai usato il limite solamente all'infinito...
invece il testo dice per -infinito...
se mi potresti aiutare spiegandomi passaggio per passaggio...
e come fai a togliere il valore assoluto...
fammi sapere...
sto impazzendo a risolverlo..
grazie..
Hai ragione, non avevo notato che tendesse a $ -oo $!
Beh, è semplice rimediare: il valore assoluto lo tolgo e sotto radice rimane un $ -x $, ma nello svolgimento del limite notevole non cambia a tutti gli effetti nulla, tranne che il primo membro rimane $ -1/(2x) $. A secondo membro invece puoi tirare fuori allo stesso modo la $ x^2 $ poiché appunto elevata a potenza positiva.
L'unica differenza vera e propria arriva adesso: $ e^(-x) $ significa che $ e $ è elevata a più infinito, quindi tende a $ +oo $. Il segno meno che rimane davanti a tutta l'espressione cambia anche il valore del limite, portandolo a $ -oo $.
Correggimi se vedi qualche errore, potrei essermi distratto
Beh, è semplice rimediare: il valore assoluto lo tolgo e sotto radice rimane un $ -x $, ma nello svolgimento del limite notevole non cambia a tutti gli effetti nulla, tranne che il primo membro rimane $ -1/(2x) $. A secondo membro invece puoi tirare fuori allo stesso modo la $ x^2 $ poiché appunto elevata a potenza positiva.
L'unica differenza vera e propria arriva adesso: $ e^(-x) $ significa che $ e $ è elevata a più infinito, quindi tende a $ +oo $. Il segno meno che rimane davanti a tutta l'espressione cambia anche il valore del limite, portandolo a $ -oo $.
Correggimi se vedi qualche errore, potrei essermi distratto
ok hai ragione il limite viene proprio $-oo$...
mi potresti spiegare meglio i passaggi relativi al valore assoluto e alla radice...
sto impazzendo a eseguire tutti i passaggi..
e non riesco a capire cosa fare praticamente...
se mi puoi aiutare..
grazie..
mi potresti spiegare meglio i passaggi relativi al valore assoluto e alla radice...
sto impazzendo a eseguire tutti i passaggi..
e non riesco a capire cosa fare praticamente...
se mi puoi aiutare..
grazie..
Certo, provo a farlo con tutti i passaggi espliciti:
$ lim_(x -> -oo) (1−cos(1/sqrt|x|))(sqrt(x^2−4x+cos2x)+x)e^-x $
- Siccome $ x<0 $, $ |x|=-x $. La radice esiste poiché l'argomento è positivo, e $ 1/sqrt(|x| $ tende a $ 0 $ per $ x->-oo $. Effettuo una sostituzione, $ 1/sqrt|x|=y $. Adesso posso usare il confronto asintotico $ lim_(y -> 0)(1-cos(y))/y^2=1/2=>1-cos(y)~ 1/2y^2 $. Significa che la prima parentesi può essere sostituita (perché si comportano allo stesso modo a $-oo $) con $ 1/2y^2 $. Ad $ y $ sostituiamo di nuovo $ 1/sqrt(|x|) $ ed ecco che abbiamo quel $ -1/(2x) $ che ci serve.
- La seconda parentesi è piuttosto standard, comunque: $ sqrt(x^2−4x+cos2x)+x=sqrt(x^2(1-4/x+cos(2x)/x^2))+x=x*sqrt(1-4/x+cos(2x)/x^2)+x $. Noterai adesso che all'interno della parentesi abbiamo una quantità che vale $ 1 $ e due quantità che invece tendono a $ 0 $, perciò possiamo dire che tutto il primo membro si comporta come un $ x $. Sommiamolo col secondo e otteniamo $ 2x $ che sostituisce tutta la seconda parentesi.
Arrivati a questo punto, abbiamo:
$ lim_(x->-oo)(-1/(2x))*(2x)*e^-x=lim_(x->-oo)(-1)*e^-x $
Ora si tratta solo di sostituire.
Ciao!
$ lim_(x -> -oo) (1−cos(1/sqrt|x|))(sqrt(x^2−4x+cos2x)+x)e^-x $
- Siccome $ x<0 $, $ |x|=-x $. La radice esiste poiché l'argomento è positivo, e $ 1/sqrt(|x| $ tende a $ 0 $ per $ x->-oo $. Effettuo una sostituzione, $ 1/sqrt|x|=y $. Adesso posso usare il confronto asintotico $ lim_(y -> 0)(1-cos(y))/y^2=1/2=>1-cos(y)~ 1/2y^2 $. Significa che la prima parentesi può essere sostituita (perché si comportano allo stesso modo a $-oo $) con $ 1/2y^2 $. Ad $ y $ sostituiamo di nuovo $ 1/sqrt(|x|) $ ed ecco che abbiamo quel $ -1/(2x) $ che ci serve.
- La seconda parentesi è piuttosto standard, comunque: $ sqrt(x^2−4x+cos2x)+x=sqrt(x^2(1-4/x+cos(2x)/x^2))+x=x*sqrt(1-4/x+cos(2x)/x^2)+x $. Noterai adesso che all'interno della parentesi abbiamo una quantità che vale $ 1 $ e due quantità che invece tendono a $ 0 $, perciò possiamo dire che tutto il primo membro si comporta come un $ x $. Sommiamolo col secondo e otteniamo $ 2x $ che sostituisce tutta la seconda parentesi.
Arrivati a questo punto, abbiamo:
$ lim_(x->-oo)(-1/(2x))*(2x)*e^-x=lim_(x->-oo)(-1)*e^-x $
Ora si tratta solo di sostituire.
Ciao!
grazie mille
Non sono d'accordo: la funzione nella seconda parentesi è una forma indeterminata $\infty-\infty$. Se operiamo come dice frink, portando fuori dalla radice resta un $|x|$ che, può essere sostituito con $-x$ poiché $x\to -\infty$ e pertanto, ancora, ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata. Quello che va fatto, prima, è fare in modo di far sparire quella forma.
ok risolto
grazie a tutti
grazie a tutti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo