Calcolare il limite
Salve avrei bisogno di una mano con lo svolgimento di questo limite riconducibile a limiti notevoli....
$\lim_{x \to 0}\frac{sin(x^{3})+2x^2}{log(1+x^2 sin x)}\cdot (e^{x^{2}}-1)\cdot arctan ( sin \frac{1}{x} ) $
spero che possiamo collaborare..
grazie...
$\lim_{x \to 0}\frac{sin(x^{3})+2x^2}{log(1+x^2 sin x)}\cdot (e^{x^{2}}-1)\cdot arctan ( sin \frac{1}{x} ) $
spero che possiamo collaborare..
grazie...
Risposte
inizia con una tua idea o svolgimento..giusto o sbagliato che sia..
comunque io utilizzerei lo sviluppo di Taylor-McLaurin
comunque io utilizzerei lo sviluppo di Taylor-McLaurin
Il risultato è per caso 1 ?
Comunque prova usando i vari limiti notevoli che conosci per x che tende a zero. $ (senx)/x $ $ (logx)/x $ $ (arctgx)/x $ $ (e^x-1)/x $ $ (log(1+x))/x $
non dovrebbe essere complicato
Comunque prova usando i vari limiti notevoli che conosci per x che tende a zero. $ (senx)/x $ $ (logx)/x $ $ (arctgx)/x $ $ (e^x-1)/x $ $ (log(1+x))/x $
non dovrebbe essere complicato
mi potete aiutare non ho capito nulla..
non riesco a capire da dove devo incominciare..
grazie..
non riesco a capire da dove devo incominciare..
grazie..
Usando quei limiti notevoli, prova a moltiplicare e dividere per 'qualcosa' in modo da farti uscire quei limiti lì.. io ho fatto così.
Ma sai comunque il risultato?.. avendolo fatto veloce, non sono sicura, prima di scriverti come l'ho provata a svolgere io magari meglio che verifico che venga veramente in quel modo
Ma sai comunque il risultato?.. avendolo fatto veloce, non sono sicura, prima di scriverti come l'ho provata a svolgere io magari meglio che verifico che venga veramente in quel modo
ho provato a fare qualcosa ma niente... se mi puoi aiutare Maryse...grazie
è da parecchio che non faccio i limiti però provo ad aiutarti allora:
abbiamo $ lim xrarr oo $ di $ (sinx^(3)+2x^(2))/(log(1+x^(2)sinx))(e^(x^(2))-1)arctan(sin(1/x)) $
io comincerei con usare i limiti notevoli per la tendenza a zero di x quindi moltiplichiamo e dividiamo tutto per
$ (x^(2)sinx)/(x^(2)sinx)x^(2)/x^(2) $
otteniamo così: $ (sin(x^(3)))/(x^(2)sinx)+2x^(2)arctan(sin(1/x))(1/sinx) $
ora moltiplichiamo e dividiamo per $ x/x x^3/x^(3) $
otteniamo così $ 1+2x^(2)arctan(sin(1/x)) $
moltiplichiamo e dividiamo per $ (sin(1/x))/sin(1/x) $
ottenendo così $ 1 + 2x^(2)sin(1/x) $
ci siamo quasi come ultima cosa moltiplichiamo e dividiamo per $ (1/x)/(1/x) $
ed arriviamo a $ 1 + 2x $ che per $ xrarr 0 $ è $ =1 $
spero di non aver sbagliato e di averti fatto capire il procedimento
abbiamo $ lim xrarr oo $ di $ (sinx^(3)+2x^(2))/(log(1+x^(2)sinx))(e^(x^(2))-1)arctan(sin(1/x)) $
io comincerei con usare i limiti notevoli per la tendenza a zero di x quindi moltiplichiamo e dividiamo tutto per
$ (x^(2)sinx)/(x^(2)sinx)x^(2)/x^(2) $
otteniamo così: $ (sin(x^(3)))/(x^(2)sinx)+2x^(2)arctan(sin(1/x))(1/sinx) $
ora moltiplichiamo e dividiamo per $ x/x x^3/x^(3) $
otteniamo così $ 1+2x^(2)arctan(sin(1/x)) $
moltiplichiamo e dividiamo per $ (sin(1/x))/sin(1/x) $
ottenendo così $ 1 + 2x^(2)sin(1/x) $
ci siamo quasi come ultima cosa moltiplichiamo e dividiamo per $ (1/x)/(1/x) $
ed arriviamo a $ 1 + 2x $ che per $ xrarr 0 $ è $ =1 $
spero di non aver sbagliato e di averti fatto capire il procedimento
Allora, non è proprio banalissimo ma, come spesso accade, in matematica ci vuole anche molta astrazione e fantasia oltre al ragionamento per arrivare alla soluzione. Cerco di spiegarti la soluzione passo passo.
Lo scopo è appunto ricondursi per quanto possibile a limiti notevoli per poter calcolare il limite che a noi interessa.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\log(1 + x^2 \sin x)} \cdot (e^{x^2} -1) \cdot \arctan(\sin(\frac{1}{x}))$
Il primo limite notevole che potrebbe essere il più evidente da ricavare è quello in cui compare il logaritmo. Difatti se di sotto all'espressione in cui ho il logaritmo avessi proprio $x^2 + \sin x$ mi riconduco al limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$. D'accordo fin qui? Moltiplico quindi numeratore e denominatore della "frazione" (il denominatore è in realtà pari ad 1 adesso) per $x^2 \cdot \sin x$. Siccome per avere quel limite notevole a me interessa solo in denominatore allora scrivo il numeratore della frazione per cui ho moltiplicato come più mi comoda (per avere anche altri limiti notevoli, appunto). Ottengo perciò: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\sin x}$.
Come vedi ora abbiamo già individuato ben due limiti notevoli (il secondo è $\frac{e^{x^2} -1}{x^2}$).
L'ultima frazione che abbiamo nella formula appena ottenuta non è però purtroppo ancora un limite notevole poiché dovrei avere al denominatore $\frac{1}{\sin x}$ e non $\sin x$. Poco male, possiamo ragionare analogamente a quanto fatto per il logaritmo in precedenza, questa volta però moltiplicando e dividendo per la quantità $\sin \frac{1}{x}$ (che è proprio quello che ci serve). Otteniamo dunque: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\sin x \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}}$.
Come vedi però non basta ancora perché bisogna che cerco il limite notevole anche per $\frac{1}{\sin x}$ (quello che mi resta al denominatore della nuova frazione. Ragioniamo come di consueto ed abbiamo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$. Ora ci rimane da gestire la frazione $\frac{\sin x}{\frac{1}{x}}$ che compare per prima al denominatore dell'ultima frazione più grande. Per quanto riguarda le altre siamo a posto perché otteniamo dei limiti notevoli. Riesci a vederli? Poiché $\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2}$ possiamo pensare di tenere l'$x$ al numeratore di questa frazione sotto a $\sin x$ e portare per due volte di seguito $x^2$ al numeratore. In particolare questo lo possiamo "spostare" alla prima frazione, ottenendo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^2}(\sin (x^3) + 2x^2)}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$
Ora basta che eseguiamo la moltiplicazione per $\frac{1}{x^2}$ al numeratore della prima frazione e poi, moltiplicando sopra e sotto per $x$ nella prima frazione che otteniamo (dove compare $\sin (x^3)$ tanto per capirci), abbiamo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot \sin (x^3)}{x^3} + 2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$.
Finalmente abbiamo tutti e soli limiti notevoli (che tra l'altro vanno tutti ad 1). Questo limite, facendo dei semplici calcoli, vale pertanto 2. Fammi sapere se non capisci o trovi eventuali errori.
Lo scopo è appunto ricondursi per quanto possibile a limiti notevoli per poter calcolare il limite che a noi interessa.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\log(1 + x^2 \sin x)} \cdot (e^{x^2} -1) \cdot \arctan(\sin(\frac{1}{x}))$
Il primo limite notevole che potrebbe essere il più evidente da ricavare è quello in cui compare il logaritmo. Difatti se di sotto all'espressione in cui ho il logaritmo avessi proprio $x^2 + \sin x$ mi riconduco al limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$. D'accordo fin qui? Moltiplico quindi numeratore e denominatore della "frazione" (il denominatore è in realtà pari ad 1 adesso) per $x^2 \cdot \sin x$. Siccome per avere quel limite notevole a me interessa solo in denominatore allora scrivo il numeratore della frazione per cui ho moltiplicato come più mi comoda (per avere anche altri limiti notevoli, appunto). Ottengo perciò: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\sin x}$.
Come vedi ora abbiamo già individuato ben due limiti notevoli (il secondo è $\frac{e^{x^2} -1}{x^2}$).
L'ultima frazione che abbiamo nella formula appena ottenuta non è però purtroppo ancora un limite notevole poiché dovrei avere al denominatore $\frac{1}{\sin x}$ e non $\sin x$. Poco male, possiamo ragionare analogamente a quanto fatto per il logaritmo in precedenza, questa volta però moltiplicando e dividendo per la quantità $\sin \frac{1}{x}$ (che è proprio quello che ci serve). Otteniamo dunque: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\sin x \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}}$.
Come vedi però non basta ancora perché bisogna che cerco il limite notevole anche per $\frac{1}{\sin x}$ (quello che mi resta al denominatore della nuova frazione. Ragioniamo come di consueto ed abbiamo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^3) + 2x^2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$. Ora ci rimane da gestire la frazione $\frac{\sin x}{\frac{1}{x}}$ che compare per prima al denominatore dell'ultima frazione più grande. Per quanto riguarda le altre siamo a posto perché otteniamo dei limiti notevoli. Riesci a vederli? Poiché $\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2}$ possiamo pensare di tenere l'$x$ al numeratore di questa frazione sotto a $\sin x$ e portare per due volte di seguito $x^2$ al numeratore. In particolare questo lo possiamo "spostare" alla prima frazione, ottenendo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^2}(\sin (x^3) + 2x^2)}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$
Ora basta che eseguiamo la moltiplicazione per $\frac{1}{x^2}$ al numeratore della prima frazione e poi, moltiplicando sopra e sotto per $x$ nella prima frazione che otteniamo (dove compare $\sin (x^3)$ tanto per capirci), abbiamo:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot \sin (x^3)}{x^3} + 2}{\frac{\log(1 + x^2 \sin x)}{x^2 + \sin x}} \cdot \frac{e^{x^2} -1}{x^2} \cdot \frac{\arctan(\sin(\frac{1}{x}))}{\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$.
Finalmente abbiamo tutti e soli limiti notevoli (che tra l'altro vanno tutti ad 1). Questo limite, facendo dei semplici calcoli, vale pertanto 2. Fammi sapere se non capisci o trovi eventuali errori.
scusate ma quindi il limite è 1 o 2
mi potete aiutare.
grazie
mi potete aiutare.
grazie
"avenged":
è da parecchio che non faccio i limiti però provo ad aiutarti allora:
abbiamo $ lim xrarr oo $ di $ (sinx^(3)+2x^(2))/(log(1+x^(2)sinx))(e^(x^(2))-1)arctan(sin(1/x)) $
io comincerei con usare i limiti notevoli per la tendenza a zero di x quindi moltiplichiamo e dividiamo tutto per
$ (x^(2)sinx)/(x^(2)sinx)x^(2)/x^(2) $
otteniamo così: $ (sin(x^(3)))/(x^(2)sinx)+2x^(2)arctan(sin(1/x))(1/sinx) $
ora moltiplichiamo e dividiamo per $ x/x x^3/x^(3) $
otteniamo così $ 1+2x^(2)arctan(sin(1/x)) $
moltiplichiamo e dividiamo per $ (sin(1/x))/sin(1/x) $
ottenendo così $ 1 + 2x^(2)sin(1/x) $
ci siamo quasi come ultima cosa moltiplichiamo e dividiamo per $ (1/x)/(1/x) $
ed arriviamo a $ 1 + 2x $ che per $ xrarr 0 $ è $ =1 $
spero di non aver sbagliato e di averti fatto capire il procedimento
Non vorrei sbagliarmi ma, a meno di non avere subito il limite di una somma (ossia al cui interno vi sono più addendi), non si può mandare a zero solo alcune parti e calcolare il limite di ciò che rimane...
e quindi quanto vale il limite finale???
io avevo spezzato la somma facendo due limiti,se ho sbagliato chiedo scusa però ho controllato su wolfram e veniva 1
"avenged":
io avevo spezzato la somma facendo due limiti,se ho sbagliato chiedo scusa però ho controllato su wolfram e veniva 1
Potrei avere sbagliato anche io per quello... Puoi postare tutti i passaggi cortesemente? Mi mancano alcuni pezzi del tuo ragionamento.
"insule15":
e quindi quanto vale il limite finale???
Consiglio: in questi ed altri esercizi che affronterai anziché guardare solo ed unicamente al risultato finale analizza bene i metodi utilizzati con i vari passaggi. Anche il tuo contributo può essere utile per scovare eventuali errori che abbiamo commesso
.
io ho fatto così:
prima ho diviso i due limiti uno $ sin(x^3)/(log(1+x^(2)sinx) $ e l'altro
$ (2x^(2)(e^(x^(2))-1)arctan(sin(1/x)))/log(1+x^(2)six) $
risolvendo con i limiti notevoli ottengo che il primo mi da 1 e il secondo $ 2x $ quindi ottengo 1
prima ho diviso i due limiti uno $ sin(x^3)/(log(1+x^(2)sinx) $ e l'altro
$ (2x^(2)(e^(x^(2))-1)arctan(sin(1/x)))/log(1+x^(2)six) $
risolvendo con i limiti notevoli ottengo che il primo mi da 1 e il secondo $ 2x $ quindi ottengo 1
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