Calcolare il lavoro lungo una curva?
Ciao ragazzi! tra poco avrò l'esame di analisi 2 e questo è uno dei miei ultimi dubbi..
Qualcuno potrebbe darmi la regola (no teorema di stokes) per calcolare il lavoro lungo una curva?
so che si calcola come l'integrale di $F*dS$ ma non ho ben chiaro cosa sia $dS$ e come si calcola!
vi posto un esercizio:
Si considerino il campo vettoriale , definito su $R^3$
$F(x,y,z)= (x-y) i + (x+z) j + (-x-y)k$
e le due superfici:
$S1 = { (x,y,z) €R^3 : z=4-x^2-y^2, z>=0}$
$S2 = { (x,y,z) € R^3 : x^2+y^2 <=4 , z=0}$
Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S1 , calcolando esplicitamente un integrale
di linea.
grazie mille
!
Qualcuno potrebbe darmi la regola (no teorema di stokes) per calcolare il lavoro lungo una curva?
so che si calcola come l'integrale di $F*dS$ ma non ho ben chiaro cosa sia $dS$ e come si calcola!
vi posto un esercizio:
Si considerino il campo vettoriale , definito su $R^3$
$F(x,y,z)= (x-y) i + (x+z) j + (-x-y)k$
e le due superfici:
$S1 = { (x,y,z) €R^3 : z=4-x^2-y^2, z>=0}$
$S2 = { (x,y,z) € R^3 : x^2+y^2 <=4 , z=0}$
Trovare il lavoro di F lungo il bordo orientato positivamente di S1 , calcolando esplicitamente un integrale
di linea.
grazie mille
!
Risposte
innanzitutto dobbiamo capire qual è la linea su cui integrare, in questo caso si tratta di una circonferenza giacente sul piano $z=0$ che deve essere parametrizzata opportunamente
l'integrale poi diventa $int F*dS=int_0^(2pi) F(r(theta))*r'(theta)d theta$ dove $r(theta)$ è la curva parametrizzata
sostituendo i valori l'integrale è $int_0^(2pi) 1+4cos(theta)sin(theta)d theta=2pi$
l'integrale poi diventa $int F*dS=int_0^(2pi) F(r(theta))*r'(theta)d theta$ dove $r(theta)$ è la curva parametrizzata
sostituendo i valori l'integrale è $int_0^(2pi) 1+4cos(theta)sin(theta)d theta=2pi$
grazie mi potresti spiegare come hai fatto a trovare $F$ e $dS$ ? non mi è molto chiaro quel passaggio..
mi potresti spiegare come hai fatto a trovare $F$ e $dS$ ? non mi è molto chiaro quel passaggio..
$F$ è il campo vettoriale che ti viene dato, l'unica cosa da trovare è la parametrizzazione della circonferenza e sostituire i valori (nota che il raggio è costante quindi l'unico parametro è $theta$)
poi $dS$ lo puoi scrivere come $r'(theta)d theta$
poi $dS$ lo puoi scrivere come $r'(theta)d theta$
per definizione
sia $ \Sigma $ una superificie,
L'area di $\Sigma$ è assegnata dalla formula $ a(\Sigma)=\int\int_(\Sigma)dS=\int\int_T ||\partial_ur \xx \partial_v r||dudv $
ove con $r$ si intente la superficie descritta da 3 equazioni parametriche
$ r={ ( x=x(u,v) ),( y=y(u,v) ),( z=z(u,v) ):} $
Per una superificie cartesiana, cioè il grafico di una funzione $z=f(x,y)$
allora si ha $ ||\partial_x r\xx \partial_y r||=\sqrt(1+|\grad f|^2) $
sia $ \Sigma $ una superificie,
L'area di $\Sigma$ è assegnata dalla formula $ a(\Sigma)=\int\int_(\Sigma)dS=\int\int_T ||\partial_ur \xx \partial_v r||dudv $
ove con $r$ si intente la superficie descritta da 3 equazioni parametriche
$ r={ ( x=x(u,v) ),( y=y(u,v) ),( z=z(u,v) ):} $
Per una superificie cartesiana, cioè il grafico di una funzione $z=f(x,y)$
allora si ha $ ||\partial_x r\xx \partial_y r||=\sqrt(1+|\grad f|^2) $
ragazzi non mi è ancora chiaro... mi spiegato più dettagliatamente come trovare $dS$? .. vi prego !!
Il tuo libro che dice a proposito? Walter ti ha spiegato tutto
"faby94":
ragazzi non mi è ancora chiaro... mi spiegato più dettagliatamente come trovare $dS$? .. vi prego !!
ti ho scritto anche la definizione..cos'è che non capisci?..
questo? $ ||\partial_u r\xx\partial_v r|| $
quella è la norma del prodotto vettoriale..
ove $ \partial_u r $ e $ \partial_v r $ rappresentano le derivae parziali della superficie in forma parametrica
$ dS=||\partial_u r\xx \partial_v r||dudv $
ti piace di più con le variabili $x, y$ ? nessun problema
$ dS=||\partial_x r\xx \partial_y r||dxdy $
@21zuclo: si sta parlando di curve non di superfici!
"Emar":
@21zuclo: si sta parlando di curve non di superfici!
ah già è vero!..
quindi si gli ha già spiegato tutto l'utente Walter
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