Calcolare flusso attraverso superficie in $R^3$

[asker993]

Ciao, facendo un esercizio mi è venuto un dubbio, l'esercizio è il seguente: data $F$ campo vettoriale, calcolare il flusso di questo attraverso la superficie che è costituita da un tetraedro in $R^3$ con i $4$ punti in:$ p1(0,0,0) p2(1,0,0) p3(0,1,0) p4(0,0,1)$ è dunque un tetraedro formato da una base triangolare e vertice sull'asse $z$, intutivamente, se mi chiedono di calcolare il flusso, se per esempio $F$ è perpendicolare al lato del tetraedro parallelo all'asse $z$, direi che il flusso totale attraverso la superficie è soltanto quello che passa attraverso quella faccia del tetraedro, senza tener da conto quella obliqua che incontrerebbe successivamente...cioè, non capisco il senso geometrico di far la somma di due integrali attraverso la superficie obliqua più quella parallela all'asse z...per esempio, se avessimo un cubo, e un campo di forze perpendicolare ad una faccia, il flusso totale secondo me sarebbe soltanto l'integrale di superficie dove la superficie è una faccia del cubo, non 2 facce (e dunque non due integrali)...non so se mi spiego...mi potete spiegare a parole questo passaggio? Non riesco a capacitarmene...grazie

[ciampax]

No: il flusso totale è per definizione la somma dei flussi attraverso tutte le facce. E' ovvio che se la superficie è differenziabile (non presenta spigoli e angoli) è come se avesse una sola faccia, per cui ti limiti a calcolare un integrale. Ma in questo caso ne hai 4, così come sul cubo ne hai sei.

[asker993]

ok grazie ciampax, è chiaro quello che dici, però mi pareva di aver chiaro il concetto di flusso a livello intuitivo...però, io faccio sto ragionamento: ho un cubo, un campo vettoriale che passa attraverso la superficie di una faccia del cubo perpendicolarmente, di conseguenza passerà anche attraverso all'altra di fronte, e non passa attraverso le altre 4 facce...però, se calcolo il flusso rispetto una faccia sola trovo diciamo "quanta roba passa" attraverso quella superficie che sarà uguale a quello che passa nell'altra faccia se il campo non varia, ma mi sembra assurdo calcolare due volte quanta roba passa attraverso la superficie se gia lo so...capisci il problema? Cioè, se ho 100 facce di un solido parallele tra loro mi sembrerebbe assurdo affermare che il flusso è 100 volte maggiore rispetto ad una sola faccia...mi sembrerebbe più logico affermare che il flusso è sempre lo stesso se il campo è costante e passa via le facce alla stessa maniera...sarebbe come dire che la quantità che passa attraverso quelle facce vadi ad aumentare di volta in volta.

[ciampax]

Asker, ho capito benissimo cosa intendevi, ma la definizione è quella che ti ho dato. Ovvio che se il campo vettoriale è fatto da vettori "paralleli" il numero di facce interessate diminuisce (o, analogamente, il flusso è zero), ma qui si parla di situazioni generali. Un campo vettoriale è un insieme di infiniti vettori, con origine negli infiniti punti dello spazio, che possono andare in tutte le direzioni, a priori.

[asker993]

ok grazie ... scusami ma quando mi metto in testa delle cose voglio andare fino in fondo