Calcolare \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} \)
Ciao, sto tentando di calcolare il seguente integrale :
ma ottengo una soluzione che differisce per una costante dal risultato..Vi faccio vedere cosa ho fatto, dunque:
L'integranda \(\displaystyle f(x) \) è sommabile in \(\displaystyle ]0,+\infty[ \) in quanto per \(\displaystyle x \to \infty \) \(\displaystyle f(x) \) è un infinitesimo di ordine \(\displaystyle 2 \), quindi l'integrale esiste finito. In particolare va osservato che il punto \(\displaystyle x=0 \) è un punto in \(\displaystyle f(x) \) non è definita. Se consideriamo l'estensione :
e consideriamo al solito la semicirconferenza superiore (indicata con \(\displaystyle T \)) e la semicirconferenza inferiore (indicata con \(\displaystyle T^* \)), si ottiene :
e
Per i lemmi di Jordan si vede che :
quindi per \(\displaystyle R\to \infty \) e \(\displaystyle \epsilon,\delta \to 0 \) si ha :
Calcolando i residui ottengo :
Di conseguenza, effettuando le somme e portando la costante al secondo membro :
per confronto si ottiene infine :
che ho scritto in questo modo perchè il risultato corretto sarebbe soltanto quello all'interno delle parentesi..non riesco a capire dove ho sbagliato ..l'ho rifatto più volte ma anche Mathematica mi conferma che il calcolo dei residui è corretto tuttavia alla fine mi fornisce un risultato che differisce dal mio per quelle costanti..
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} \)
ma ottengo una soluzione che differisce per una costante dal risultato..Vi faccio vedere cosa ho fatto, dunque:
L'integranda \(\displaystyle f(x) \) è sommabile in \(\displaystyle ]0,+\infty[ \) in quanto per \(\displaystyle x \to \infty \) \(\displaystyle f(x) \) è un infinitesimo di ordine \(\displaystyle 2 \), quindi l'integrale esiste finito. In particolare va osservato che il punto \(\displaystyle x=0 \) è un punto in \(\displaystyle f(x) \) non è definita. Se consideriamo l'estensione :
\(\displaystyle f(z) = \frac{z\;(log|z|+i\;arg(z))^2}{1+z^3} \;\;\;\;\; in \;\; \mathbb{C} - \left\{0\;;-1 ;\;\frac{1}{2} \pm i\; \frac{\sqrt{3}}{2} \right\} \)
e consideriamo al solito la semicirconferenza superiore (indicata con \(\displaystyle T \)) e la semicirconferenza inferiore (indicata con \(\displaystyle T^* \)), si ottiene :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z)dz = \int_{-R}^{-1-\delta} \frac{(-x)\;(log|-x| + i\;\pi)^2}{1+(-x)^3} dx - \int_{\Gamma_{\delta}} f(z)dz + \int_{-1+\delta}^{\epsilon} \frac{(-x)\;(log|-x| + i\;\pi)^2}{1+(-x)^3} dx - \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz + \int_{\epsilon}^{R} \frac{x\;log^2|x| }{1+x^3} dx + \int_{\Gamma_R} f(z) dz = 2 \pi\; i Res(f(z),\frac{1}{2} + i\; \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
e
\(\displaystyle \int_{\partial T^*} f(z)dz = - \int_{-R}^{-1-\delta} \frac{(-x)\;(log|-x| + i\;\pi)^2}{1+(-x)^3} dx - \int_{\Gamma_{\delta}} f(z)dz - \int_{-1+\delta}^{\epsilon} \frac{(-x)\;(log|-x| + i\;\pi)^2}{1+(-x)^3} dx - \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz - \int_{\epsilon}^{R} \frac{x\;(log|x|+2\pi\;i)^2 }{1+x^3} dx + \int_{\Gamma_R} f(z) dz = 2 \pi\; i Res(f(z),\frac{1}{2} - i\; \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
Per i lemmi di Jordan si vede che :
\(\displaystyle \lim_{R\to\infty} \int_{\Gamma_R} f(z) dz = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{\epsilon\to 0} f(z)dz = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{\delta\to 0} \int_{\Gamma_{\delta}} f(z) dz = i\;\frac{\pi^3}{3} \)
quindi per \(\displaystyle R\to \infty \) e \(\displaystyle \epsilon,\delta \to 0 \) si ha :
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z)dz + \int_{\partial T^*} f(z)dz = - 4 i \;\pi \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx + 4\;\pi^2 \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx - i\;\frac{2}{3}\pi^3 = 2\pi\;i \sum_k Res \)
Calcolando i residui ottengo :
\(\displaystyle Res(f(z),\frac{1}{2} + i\;\frac{\sqrt{3}}{2}) = (i\;\sqrt{3}-1) \frac{\pi^2}{54} \)
\(\displaystyle Res(f(z),\frac{1}{2} - i\;\frac{\sqrt{3}}{2}) = - (i\;\sqrt{3}+1) \frac{49 \pi^2}{54} \)
Di conseguenza, effettuando le somme e portando la costante al secondo membro :
\(\displaystyle - 4 i \;\pi \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx + 4\;\pi^2 \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = \sqrt{3} \frac{16}{9} \pi^3 - i\;\frac{32}{27}\pi^3 \)
per confronto si ottiene infine :
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx = 4\; \left(\frac{2 \pi^2}{27}\right) \)
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = 2 \; \left(\sqrt{3} \frac{2}{9} \pi^2 \right) \)
che ho scritto in questo modo perchè il risultato corretto sarebbe soltanto quello all'interno delle parentesi..non riesco a capire dove ho sbagliato ..l'ho rifatto più volte ma anche Mathematica mi conferma che il calcolo dei residui è corretto tuttavia alla fine mi fornisce un risultato che differisce dal mio per quelle costanti..
Risposte
Ciao Oiram92,
Il risultato corretto è $ \frac{2 \pi^2}{27} $.
Nella $ f(x) $ il logaritmo ha potenza 1, nella $ f(z) $ la potenza diventa 2...
Il risultato corretto è $ \frac{2 \pi^2}{27} $.
Nella $ f(x) $ il logaritmo ha potenza 1, nella $ f(z) $ la potenza diventa 2...
Hai provato a svolgerlo senza elevare il logaritmo al quadrato? Ripetendo lo stesso procedimento senza elevare al quadrato si arriva a :
ed ecco che sparisce la \(\displaystyle f(x) \) di cui vogliamo calcolare l'integrale..il procedimento con l'elevamento al quadrato credo che sia corretto
\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz + \int_{\partial T^*} f(z) dz = \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx - \int_{0}^{\infty} \frac{x\;(log(x)+2i\pi)}{1+x^3} dx = -2i\pi\;\int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx \)
ed ecco che sparisce la \(\displaystyle f(x) \) di cui vogliamo calcolare l'integrale..il procedimento con l'elevamento al quadrato credo che sia corretto
nessuno? ho controllato varie volte i conti ma mi sembra che siano corretti..forse qualcuno riesce a beccare un possibile errore perchè sicuramente (se ho commesso qualche errore) continuo a ripeterlo senza rendermente conto
Ciao Oiram92,
ci sto guardando, solo che bisogna vedere se i bimbi mi lasciano stare per un po' di tempo...
La $ f(z) $ è corretta. C'è un errore "veniale" sulla seconda eguaglianza "lunga", nel senso che il polo racchiuso per $ Im(z) < 0 $ è quello con la $ y < 0 $, cioè la scrittura corretta è $ Res[f(z);\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}]$, non col + (ma mi sa che deriva da un copia-incolla...). Se vedo qualcosa che non va ti faccio sapere appena possibile...
ci sto guardando, solo che bisogna vedere se i bimbi mi lasciano stare per un po' di tempo...
La $ f(z) $ è corretta. C'è un errore "veniale" sulla seconda eguaglianza "lunga", nel senso che il polo racchiuso per $ Im(z) < 0 $ è quello con la $ y < 0 $, cioè la scrittura corretta è $ Res[f(z);\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}]$, non col + (ma mi sa che deriva da un copia-incolla...). Se vedo qualcosa che non va ti faccio sapere appena possibile...
Hai ragione ho fatto copia-incolla ed ho dimenticato di cambiare il segno 
(adesso l'ho sistemato) però poi vado a calcolare il residuo nel punto giusto quindi quello è stato soltanto un problema di distrazione. Quello che proprio non riesco a capire è come mai (a meno di quelle costanti) il risultato è corretto..se avessi sbagliato nel procedimento non dovrei ottenere un risultato del genere quindi a questo punto penso ci sia un errore nei calcoli (anche se li ho verificati più volte tramite Mathematica..boh)
(adesso l'ho sistemato) però poi vado a calcolare il residuo nel punto giusto quindi quello è stato soltanto un problema di distrazione. Quello che proprio non riesco a capire è come mai (a meno di quelle costanti) il risultato è corretto..se avessi sbagliato nel procedimento non dovrei ottenere un risultato del genere quindi a questo punto penso ci sia un errore nei calcoli (anche se li ho verificati più volte tramite Mathematica..boh)
Credo di averlo trovato: il problema sta nel calcolo del secondo residuo. Parto da dove è sbagliato, perché il resto è tutto corretto.
\( \displaystyle Res \bigg[f(z);\frac{1}{2} + i\;\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg] = (i\;\sqrt{3}-1) \frac{\pi^2}{54} \)
\( \displaystyle Res \bigg[f(z);\frac{1}{2} - i\;\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg] = - (i\;\sqrt{3}+1) \frac{25\pi^2}{54} \)
Di conseguenza, effettuando le somme e portando la costante al secondo membro, si ha:
\( \displaystyle - 2 i \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx + 2\;\pi \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = \sqrt{3} \frac{4}{9} \pi^2 - i\;\frac{4}{27}\pi^2 \)
per confronto si ottiene infine:
\( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx = \frac{2 \pi^2}{27} \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = \sqrt{3} \frac{2}{9} \pi \)
Risultati conformi a quelli che si possono ottenere anche con Wolfram Alpha.
\( \displaystyle Res \bigg[f(z);\frac{1}{2} + i\;\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg] = (i\;\sqrt{3}-1) \frac{\pi^2}{54} \)
\( \displaystyle Res \bigg[f(z);\frac{1}{2} - i\;\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg] = - (i\;\sqrt{3}+1) \frac{25\pi^2}{54} \)
Di conseguenza, effettuando le somme e portando la costante al secondo membro, si ha:
\( \displaystyle - 2 i \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx + 2\;\pi \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = \sqrt{3} \frac{4}{9} \pi^2 - i\;\frac{4}{27}\pi^2 \)
per confronto si ottiene infine:
\( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x\;log(x)}{1+x^3} dx = \frac{2 \pi^2}{27} \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^3} dx = \sqrt{3} \frac{2}{9} \pi \)
Risultati conformi a quelli che si possono ottenere anche con Wolfram Alpha.
Grazie mille @pilloeffe mi hai risolto un dubbio assurdo 
ero abbastanza sicuro che ci fosse da qualche parte un errore di calcolo ma non riuscivo a capire dove..mi hai aperto gli occhi grazie!
In pratica quando calcolavo l'\(\displaystyle arg(z) \) in \(\displaystyle \frac{1}{2}-i\;\frac{\sqrt{3}}{2} \) trascuravo il segno meno della parte immaginaria (senza rendermene conto) e di conseguenza calcolavo :
e da lì il problema delle costanti..grazie ancora
ero abbastanza sicuro che ci fosse da qualche parte un errore di calcolo ma non riuscivo a capire dove..mi hai aperto gli occhi grazie!In pratica quando calcolavo l'\(\displaystyle arg(z) \) in \(\displaystyle \frac{1}{2}-i\;\frac{\sqrt{3}}{2} \) trascuravo il segno meno della parte immaginaria (senza rendermene conto) e di conseguenza calcolavo :
\(\displaystyle arg\left(\frac{1}{2}-i\;\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = tan^{-1} \left(\sqrt{3}\right) + 2 \pi = \frac{7}{3}\pi \)
e da lì il problema delle costanti..grazie ancora
Ma di niente @Oiram92, figurati, una svista può capitare a tutti, incluso il sottoscritto... Anzi, voglio ringraziarti anch'io perché "mi hai costretto" a cimentarmi nuovamente su esercizi per niente banali che mi piacevano, ma che non facevo da più di 20 anni (giusto quest'anno sono 20 anni dalla mia laurea, ma l'esame di Complementi di Matematiche l'ho dato quasi 30 anni fa, nel 1989...). Ero bravino, ma sai, dopo tanto tempo è normale che un po' di ruggine si formi...
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