Calcolare con errore <0,1 il seguente integrale

[xkeccox]

Calcolare con errore minore di un decimo il seguente integrale \wr arctg(1/x^10) dx
devo utilizzare il criterio di sviluppabbilità di una serie. purtroppo conosco soltanto lo sviluppo in serie di arctg (x) e non di arctg di (1/x)...
Help

[gugo82]

L'integrale esteso a quale intervallo?

[xkeccox]

scusami... [0,1]

[gugo82]

Quindi l'integrale è:
\[
\int_0^1 \arctan \frac{1}{x}\ \text{d} x
\]
oppure:
\[
\int_0^1 \arctan \frac{1}{x^{10}}\ \text{d} x\; ?
\]
Dal post precedente non si capisce bene...

[xkeccox]

il secondo... x^10

[gugo82]

Beh, la risposta non è tanto banale e ci si può arrivare in vari modi.

Una nota uguaglianza trigonometrica, i.e.:
\[
\arctan y + \arctan \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2}
\]
valida per ogni \(y>0\), implica che:
\[
\arctan \frac{1}{x^{10}} = \frac{\pi}{2} - \arctan x^{10}
\]
quindi:
\[
\int_0^1\arctan \frac{1}{x^{10}}\ \text{d} x = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \arctan x^{10}\ \text{d} x\ldots
\]
Adesso è più facile?

[xkeccox]

ah okey grazie mi era completamente oscura quell'uguaglianza...
ho effettuato l'integrale di arctg x^10 utilizzando il suo sviluppo di taylor,e ho visto per quale "n" l'errore è minore di 1/10, quindi ho ottenuto il valore dell'integrale di arctg x^10 con errore trascurabile (<0,1). ora per ottenereil valore dell'integrale di arctg 1/(x^10) è giusto supporre che pi/2 meno il valore dell'integrale (di arctg x^10) ottenuto con errore <0,1 è pari al valore dell'integrale sopracitato con errore <0,1 . cioè il fatto che l'errore è<0,1 persiste passando dal valore dell'integrale di arcg x^10 a quello di 1/(x^10) utilizzando l'uguaglianza che mi hai fornito!? spero di essere stato chiaro anche se penso proprio di no....