Calcolare area superficie ottenuta facendo ruotare una curva
Buona sera. Purtroppo questa volta mancherà il mio supporto perchè non ho mai avuto modo di risolvere esercizi di questo genere, malgrado possano essere presenti in un eventuale test d'esame ( la nostra prof. ha infatti introdotto l'argomento cammini, curve, sostegni..etc...). L'unica cosa che sono riuscito ad affrontare è pertinente al calcolo della lunghezza di un arco di curva.
Il testo è il seguente:
nel piano y=0, sia data una curva di sostegno $\gamma$ avente equazioni parametriche:
$x(t)=sint-cost$
$z(t)=cost+sint$ con t appartenente all'intervallo $[pi/4,3/4pi]$
Calcolaree l'area della superficie ottenuta facendo ruotare $\gamma$ attorno all'asse z di un angolo di $2pi$.
L'unica cosa che mi è venut in mente è stata quella di calcolare ( ma credo invano!) la presunta lunghezza della curva ( mi risulta $sqrt2[t]$ con estremi $pi/4,3/4pi$
Possiamo svolgerlo insieme, ma abbiate pazienza perchè non sono in grado di risolverlo da solo ( ho già dato un'occhiata su internet, sfogliato quaderni, appunti di altri, consultato diversi libri...riportano esempi in numero molto ridotto relativi a questo argomento)
Vi ringrazio.
Alex
Sono a vostra completa disposizione.
Il testo è il seguente:
nel piano y=0, sia data una curva di sostegno $\gamma$ avente equazioni parametriche:
$x(t)=sint-cost$
$z(t)=cost+sint$ con t appartenente all'intervallo $[pi/4,3/4pi]$
Calcolaree l'area della superficie ottenuta facendo ruotare $\gamma$ attorno all'asse z di un angolo di $2pi$.
L'unica cosa che mi è venut in mente è stata quella di calcolare ( ma credo invano!) la presunta lunghezza della curva ( mi risulta $sqrt2[t]$ con estremi $pi/4,3/4pi$
Possiamo svolgerlo insieme, ma abbiate pazienza perchè non sono in grado di risolverlo da solo ( ho già dato un'occhiata su internet, sfogliato quaderni, appunti di altri, consultato diversi libri...riportano esempi in numero molto ridotto relativi a questo argomento)
Vi ringrazio.
Alex
Sono a vostra completa disposizione.
Risposte
Io conoscevo il Teorema di Guldino per il calcolo del volume di solidi di rotazione. Esiste un risultato simile che dovrebbe risolvere il tuo problema: prova a dare un'occhiata qui.
Ciao matth. Ho dato un'occhiata. Nel puro e semplice delirio, ho provato ad applicare questa formula ( non so se sia corretta nel mio caso, dato il piano $y=0$ e $\gamma$ che ruota attorno all'azze z di un angolo giro.
La formula che ho applicato è:
$ S=2piint_{pi/4}^{3/4pi}f(x(t),z(t))sqrt(x'(t)^2+z'(t)^2)dt$
così svolgendo:
$2piint_{pi/4}^{3/4pi}2(sqrt2)sintdt$
Che risulta: 4
ripeto...nel puro delirio, quindi perdonatemi se ho violato quale teorema o preso una formula che non c'entrava !
La formula che ho applicato è:
$ S=2piint_{pi/4}^{3/4pi}f(x(t),z(t))sqrt(x'(t)^2+z'(t)^2)dt$
così svolgendo:
$2piint_{pi/4}^{3/4pi}2(sqrt2)sintdt$
Che risulta: 4
ripeto...nel puro delirio, quindi perdonatemi se ho violato quale teorema o preso una formula che non c'entrava !
scusate se faccio un "up" di questo topic ma purtroppo ho ripreso in mano di nuovo questo argomento e relativo ed esercizio e non so come procedere a riguardo.
Grazie
edit: ho calcolato il punto iniziale $(0,0,sqrt2)$ e quello finale $(sqrt2,0,0) $ della curva, nonchè la lunghezza: $sqrt/2pi$
Grazie
edit: ho calcolato il punto iniziale $(0,0,sqrt2)$ e quello finale $(sqrt2,0,0) $ della curva, nonchè la lunghezza: $sqrt/2pi$
risolto!
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