Calcolare area superficie conica
Salve,
mi trovo a dover calcolare l'area della superficie di una parte di cono $z=\sqrt(x^2+y^2)$ compreso tra il vertice e il piano $z=(1)/(sqrt2)(y+2)$.
In pratica mi trovo a risolvere questo integrale:
$\int_(-\sqrt2)^(\sqrt2) \int_(2-\sqrt(8-2x^2))^(2+\sqrt(8-2x^2)) \sqrt(x^2+y^2) dy dx$
Risolverlo tale e quale non porta da nessuna parte, o per lo meno non trovo il metodo di risuluzione.
Il passaggio alle c. polari è quasi d'obbligo, ma la situazione si complica ancora di più, a causa degli estremi di $y$.
Si potrebbe tralsare l'origine in $(0,2)$, ma poi $\sqrt(x^2+y^2)$ diventa qualcosa di intrattabile.
La soluzione sarebbe $8\pi$.
Come si risolve ?
Mathematica, a risolvere un integrale simile, ma addirittura più facile, resituisce questa cosa che non ho neanche provato a capire.
La superficie è questa...
mi trovo a dover calcolare l'area della superficie di una parte di cono $z=\sqrt(x^2+y^2)$ compreso tra il vertice e il piano $z=(1)/(sqrt2)(y+2)$.
In pratica mi trovo a risolvere questo integrale:
$\int_(-\sqrt2)^(\sqrt2) \int_(2-\sqrt(8-2x^2))^(2+\sqrt(8-2x^2)) \sqrt(x^2+y^2) dy dx$
Risolverlo tale e quale non porta da nessuna parte, o per lo meno non trovo il metodo di risuluzione.
Il passaggio alle c. polari è quasi d'obbligo, ma la situazione si complica ancora di più, a causa degli estremi di $y$.
Si potrebbe tralsare l'origine in $(0,2)$, ma poi $\sqrt(x^2+y^2)$ diventa qualcosa di intrattabile.
La soluzione sarebbe $8\pi$.
Come si risolve ?
Mathematica, a risolvere un integrale simile, ma addirittura più facile, resituisce questa cosa che non ho neanche provato a capire.
La superficie è questa...
Risposte
$\{(x=rhocosphi),(y=rhosinphi),(z=rho):} rarr [dS=rhosqrt2drhodphi] ^^ [rhosqrt2<=rhosinphi+2]$
$[S=\int_(0)^(2pi)\int_(0)^(2/(sqrt2-sinphi))rhosqrt2drhodphi] rarr [S=2sqrt2\int_(0)^(2pi)1/(sqrt2-sinphi)^2dphi]$
Rimane da svolgere quest'ultimo integrale. Il metodo più efficace consiste nell'applicare il metodo dei residui:
$[S=2sqrt2\int_(|z|=1)1/(iz)1/[sqrt2-1/(2i)(z-1/z)]^2dz] rarr [S=8sqrt2i\int_(|z|=1)z/(z^2-2sqrt2iz-1)^2dz] rarr$
$rarr [S=8sqrt2i\int_(|z|=1)z/([z-(sqrt2-1)i]^2[z-(sqrt2+1)i]^2)dz] rarr [S=8sqrt2i*2pii*(-sqrt2/4)] rarr$
$rarr [S=8pi]$
Viceversa, è necessario procedere mediante una tecnica, allo stesso tempo, meno elegante e più elementare.
$[S=\int_(0)^(2pi)\int_(0)^(2/(sqrt2-sinphi))rhosqrt2drhodphi] rarr [S=2sqrt2\int_(0)^(2pi)1/(sqrt2-sinphi)^2dphi]$
Rimane da svolgere quest'ultimo integrale. Il metodo più efficace consiste nell'applicare il metodo dei residui:
$[S=2sqrt2\int_(|z|=1)1/(iz)1/[sqrt2-1/(2i)(z-1/z)]^2dz] rarr [S=8sqrt2i\int_(|z|=1)z/(z^2-2sqrt2iz-1)^2dz] rarr$
$rarr [S=8sqrt2i\int_(|z|=1)z/([z-(sqrt2-1)i]^2[z-(sqrt2+1)i]^2)dz] rarr [S=8sqrt2i*2pii*(-sqrt2/4)] rarr$
$rarr [S=8pi]$
Viceversa, è necessario procedere mediante una tecnica, allo stesso tempo, meno elegante e più elementare.
Intanto, grazie.
Come si arriva ad ottenere questa espressione ?
$rhosqrt2<=rhosinphi+2$
Con questa, si può ricavare il raggio in funzione dell'angolo. E' quella che cercavo.
Come si arriva ad ottenere questa espressione ?
$rhosqrt2<=rhosinphi+2$
Con questa, si può ricavare il raggio in funzione dell'angolo. E' quella che cercavo.
Beh, devo aver dormito poco ultimamente.
In effetti è immediato che se:
$z=\sqrt(x^2+y^2)$
e
$z=(1)/(\sqrt2)(y+2)$
si possono uguagliare le espressioni e viene:
$\sqrt(x^2+y^2)=(1)/(\sqrt2)(y+2)$
da cui
$\sqrt2\ r = r\ \sin \theta +2$
In effetti è immediato che se:
$z=\sqrt(x^2+y^2)$
e
$z=(1)/(\sqrt2)(y+2)$
si possono uguagliare le espressioni e viene:
$\sqrt(x^2+y^2)=(1)/(\sqrt2)(y+2)$
da cui
$\sqrt2\ r = r\ \sin \theta +2$
Ok.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo