$ C{::}_(1)^() text()e^(at)sen(bt)+C{::}_(\2\ )^() text()e^(at)cos(bt)=Ce^(at)sen(bt+phi ) $

[DonkeyShot93]

$ C{::}_(1)^() text()e^(at)sen(bt)+C{::}_(\2\ )^() text()e^(at)cos(bt)=Ce^(at)sen(bt+phi ) $
Non mi ricordo come si arrivava a scrivere quell'integrale generale in quel modo, mi pare si usasse la formula di eulero.
Qualcuno che si ricordi come si fa mi farebbe un favore, anche perchè è più una curiosità e mi eviterebbe di perdere un sacco di tempo.

[ostrogoto1]

$ C_1sen(alpha)+C_2cos(alpha)=C_1[sen(alpha)+C_2/C_1cos(alpha)]=C_1[sen(alpha)+tan(beta)cos(alpha)]=C_1/(cos(beta))[cos(beta)sen(alpha)+sen(beta)cos(alpha)]=C_1/(2cos(beta))sen(alpha+beta) $

Naturalmente con $ C_1!=0 $ altrimenti si rifa' il giochino raccogliendo $ C_2 $.

[ciampax]

Altro metodo (del tutto equivalente) che ti permette di evitare il passaggio dalla tangente, è imporre che
$$C_1=C\cos\phi,\qquad C_2=C\sin\phi$$
che ti permette di affermare che
$$C=\sqrt{C_1^2+C_2^2},\qquad \phi=\arctan\frac{C_2}{C_1}$$
dove l'arcotangente viene determinata in base alle solite regole. Osserva che in questo modo colleghi il "trasformare" la funzione originale ad un cambiamento in coordinate polari, dove la nuova ampiezza dell'onda corrisponde al "raggio" e la fase dell'onda all'angolo.