Box topolohy e insiemi aperti
Salve!
Ho bisogno una piccola mano!
Come posso dimostrare che l'insieme delle successioni limitate è aperto rispetto alla box topology? O più generalmente come si dimostra che un dato insieme è aperto rispetto alla box topology?
Ho un'idea, ma non so se sia corretta!
Un insieme in una qualunque topologia è aperto se è un intorno (neighbourhood) di ogni suo punto!
Un insieme è un intorno N di un punto se esiste un sottoinsieme aperto di N.
Nel nostro caso dovrei dimostrare che l'insieme A di ogni successione limitata è un intorno di se stesso, cioé se contiene un insieme aperto (rispetto alla box topology) per ogni sua successione limitata!
Sia $a=(a_i), i \in N$ una successione limitata!
Definisco $C=\prod_{i \in N} (a_i-1,a_i+1)$ Chiaramente questo insieme C è aperto ed è un intorno della generica succesione $a$, visto che contiene unicamente successioni limitate! E siccome posso definire per ogni successione in A un insieme C di questo tipo, ne segue che A è aperto!
Grazie!
Ho bisogno una piccola mano!
Come posso dimostrare che l'insieme delle successioni limitate è aperto rispetto alla box topology? O più generalmente come si dimostra che un dato insieme è aperto rispetto alla box topology?
Ho un'idea, ma non so se sia corretta!
Un insieme in una qualunque topologia è aperto se è un intorno (neighbourhood) di ogni suo punto!
Un insieme è un intorno N di un punto se esiste un sottoinsieme aperto di N.
Nel nostro caso dovrei dimostrare che l'insieme A di ogni successione limitata è un intorno di se stesso, cioé se contiene un insieme aperto (rispetto alla box topology) per ogni sua successione limitata!
Sia $a=(a_i), i \in N$ una successione limitata!
Definisco $C=\prod_{i \in N} (a_i-1,a_i+1)$ Chiaramente questo insieme C è aperto ed è un intorno della generica succesione $a$, visto che contiene unicamente successioni limitate! E siccome posso definire per ogni successione in A un insieme C di questo tipo, ne segue che A è aperto!
Grazie!
Risposte
Prima volta che sento parlare di questa box topology, mi garba...
Ciò considerato, mi pare che il tuo ragionamento non faccia una grinza.
[gli elementi in $a_n$ son in $RR$?! Vista la notazione che hai usato per $C$ immagino di sì...]
Ciò considerato, mi pare che il tuo ragionamento non faccia una grinza.
[gli elementi in $a_n$ son in $RR$?! Vista la notazione che hai usato per $C$ immagino di sì...]
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