Bound per la successione delle derivate
Sia $(g_n)_{n\in\NN}$ una successione di funzioni derivabili su $\RR$ tale che
\[g_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{} g(x)\in\mathbb{R} \text{ per lebesgue-quasi ogni }x\in\mathbb{R} .\]
Posso affermare che le successioni delle derivate $(g_n'(x))_{n\in\NN}$ sono limitate per lebesgue-quasi ogni $x\in\RR$ ?
Sto leggendo un articolo di fisica matematica e mi pare che si utilizzi questo risultato (che a dire il vero mi lascia un po' perplesso). Ho provato ad usare il teorema fondamentale del calcolo per dimostrarlo, ma non ne ho ricavato molto.
Domanda alternativa:
una funzione $f$ convessa su $\RR$ ammette derivata seconda lebesgue-quasi dappertutto?
Messe così le due affermazioni apparentemente c'entrano poco l'una con l'altra, ma una risposta affermativa ad una delle due mi permetterebbe di capire ciò che sto leggendo. Se volete posto i dettagli.
\[g_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{} g(x)\in\mathbb{R} \text{ per lebesgue-quasi ogni }x\in\mathbb{R} .\]
Posso affermare che le successioni delle derivate $(g_n'(x))_{n\in\NN}$ sono limitate per lebesgue-quasi ogni $x\in\RR$ ?
Sto leggendo un articolo di fisica matematica e mi pare che si utilizzi questo risultato (che a dire il vero mi lascia un po' perplesso). Ho provato ad usare il teorema fondamentale del calcolo per dimostrarlo, ma non ne ho ricavato molto.
Domanda alternativa:
una funzione $f$ convessa su $\RR$ ammette derivata seconda lebesgue-quasi dappertutto?
Messe così le due affermazioni apparentemente c'entrano poco l'una con l'altra, ma una risposta affermativa ad una delle due mi permetterebbe di capire ciò che sto leggendo. Se volete posto i dettagli.
Risposte
"qwertyuio":
Sia $(g_n)_{n\in\NN}$ una successione di funzioni derivabili su $\RR$ tale che
\[g_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{} g(x)\in\mathbb{R} \text{ per lebesgue-quasi ogni }x\in\mathbb{R} .\]
Posso affermare che le successioni delle derivate $(g_n'(x))_{n\in\NN}$ sono limitate per lebesgue-quasi ogni $x\in\RR$ ?
(Edit) No; considera ad esempio \(g_n(x) = n^{-1/2}\sin(nx)\).
Domanda alternativa:
una funzione $f$ convessa su $\RR$ ammette derivata seconda lebesgue-quasi dappertutto?
Sì; il risultato vale anche in \(\mathbb{R}^n\) ed è noto come teorema di Aleksandrov.
Grazie Riegel! Sono sempre più sconvolto dalle potenti proprietà delle funzioni convesse 
Mi accorgo ora che il controesempio che hai proposto per la prima affermazione in realtà le $(g_n(x))_{n\in\NN}$ non sono convergenti.
Mi accorgo ora che il controesempio che hai proposto per la prima affermazione in realtà le $(g_n(x))_{n\in\NN}$ non sono convergenti.
"qwertyuio":
Mi accorgo ora che il controesempio che hai proposto per la prima affermazione in realtà le $(g_n(x))_{n\in\NN}$ non sono convergenti.
Certo, scusa, mi sono perso un denominatore; prendi \(g_n(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}\).
Ok grazie. Purtroppo ho visto che in realtà il risultato sulle funzioni convesse potrebbe non bastare ai miei scopi.
Provo a scrivere esplicitamente il mio problema.
Prendo le $g_n:=f_n'$, dove le $f_n$ sono funzioni convesse e di classe $C^2$ tali che
\[f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x)\in\mathbb{R}\ \forall x\in\mathbb{R}.\]
Vorrei poter dire che per quasi ogni $x$ la successione $(f_n''(x)=g_n'(x))_{n\in\NN}$ è limitata.
Secondo voi è vero? Come potrei provarlo?
Provo a scrivere esplicitamente il mio problema.
Prendo le $g_n:=f_n'$, dove le $f_n$ sono funzioni convesse e di classe $C^2$ tali che
\[f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x)\in\mathbb{R}\ \forall x\in\mathbb{R}.\]
Vorrei poter dire che per quasi ogni $x$ la successione $(f_n''(x)=g_n'(x))_{n\in\NN}$ è limitata.
Secondo voi è vero? Come potrei provarlo?
Temo che questo non sia vero (almeno nella norma uniforme).
Se prendi \(f_n(x) = \sqrt{x^2+1/n^2}\), hai che
\[
f_n''(x) = \frac{1}{n^2 (x^2+1/n^2)^{3/2}}
\]
e \(f_n''(0) = n\).
Se prendi \(f_n(x) = \sqrt{x^2+1/n^2}\), hai che
\[
f_n''(x) = \frac{1}{n^2 (x^2+1/n^2)^{3/2}}
\]
e \(f_n''(0) = n\).
A me però basterebbe che $(f_n''(x))_{n\in\NN}$ fosse puntualmente limitata per quasi ogni $x$ fissato.
Nel tuo esempio $(f_n''(0))_{n\in\NN}$ chiaramente non è limitata, ma $(f_n''(x))_{n\in\NN}$ direi che è limitata per ogni $x>0$.
Nel tuo esempio $(f_n''(0))_{n\in\NN}$ chiaramente non è limitata, ma $(f_n''(x))_{n\in\NN}$ direi che è limitata per ogni $x>0$.
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