Boreliani e Lebesgue
Se ho capito bene la misura di Lebesgue non è definita solo sui boreliani di $RR$ ma su un suo completamento. Mi potete mostrare un esempio di insieme misurabile secondo Lebesgue ma che non sta nei borieliani? E se i borieliani non sono completi significa che esiste un insieme di misura nulla che ha un sottoinsieme che non sta nei boreliani? Un esempio anche di questo?
Grazie...
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Risposte
Non so rispondere precisamente alla prima domanda: ti posso dire che per creare uno spazio di misura servono una sigma algebra ed una misura sigma additiva, e puoi scegliere per questi ruoli i boreliani e la misura di Lebesgue. Da qui a dire che ci siano insiemi non boreliani per cui si può calcolare la misura di Lebesgue, non so dirti.
Per un esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue [e quindi non boreliano] puoi guardare una delle dispense di questa pagina http://web.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1319
Per un esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue [e quindi non boreliano] puoi guardare una delle dispense di questa pagina http://web.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1319
Considera l'insieme ternario di Cantor, \(C\). Dovrebbe esserti noto che esso è un boreliano e che ha misura di Lebesgue nulla; d'altra parte, l'insieme \(C\) ha la cardinalità del continuo, ergo l'insieme delle sue parti ha cardinalità maggiore del continuo.
Inoltre, dovrebbe esserti noto pure che la famiglia dei boreliani \(\mathcal{B}\) ha la cardinalità del continuo.
Da ciò è immediato desumere che \(\mathcal{B}\) non è completa rispetto alla misura di Lebesgue. Infatti, se per assurdo \(\mathcal{B}\) fosse completa, essa dovrebbe contenere tutte le parti di \(C\) (che dovrebbero essere misurabili ed avere misura nulla) e, perciò, dovrebbe avere cardinalità maggiore del continuo; ma ciò è assurdo.
Inoltre, dovrebbe esserti noto pure che la famiglia dei boreliani \(\mathcal{B}\) ha la cardinalità del continuo.
Da ciò è immediato desumere che \(\mathcal{B}\) non è completa rispetto alla misura di Lebesgue. Infatti, se per assurdo \(\mathcal{B}\) fosse completa, essa dovrebbe contenere tutte le parti di \(C\) (che dovrebbero essere misurabili ed avere misura nulla) e, perciò, dovrebbe avere cardinalità maggiore del continuo; ma ciò è assurdo.
Bomboklat! 
Ora però mi viene un dubbio, e cioè capire "perchè" ciò si verifica, intendo dire, i boreliani sono la sigma-algebra generata dalla topologia, quindi contengono:
- gli aperti
- i chiusi (chiusura per complementare)
- unioni numerabili di chiusi
- intersezioni numerabili di aperti
Ordunque, è possibile dimostrare che l' insieme di Cantor è effettivamente nei boreliani perchè uno di questi, mentre esiste un sottoinsieme di Cantor che non è possibile ricondurlo ad uno di questi casi? Ovvero non sta nei borelz?
Per quanto riguarda il primo punto mi verrebbe da dire che C è un chiuso, quindi ci siamo, ma per il secondo?
Ora però mi viene un dubbio, e cioè capire "perchè" ciò si verifica, intendo dire, i boreliani sono la sigma-algebra generata dalla topologia, quindi contengono:
- gli aperti
- i chiusi (chiusura per complementare)
- unioni numerabili di chiusi
- intersezioni numerabili di aperti
Ordunque, è possibile dimostrare che l' insieme di Cantor è effettivamente nei boreliani perchè uno di questi, mentre esiste un sottoinsieme di Cantor che non è possibile ricondurlo ad uno di questi casi? Ovvero non sta nei borelz?
Per quanto riguarda il primo punto mi verrebbe da dire che C è un chiuso, quindi ci siamo, ma per il secondo?
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