Bolzano - Weirestrass (esistenza di estratte convergenti)
Ricordo brevemente il teorema :
Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali limitata. Allora $EE {a_(k_n)}$ estratta convergente .
IIl prof ha dimostrato la tesi provando che esiste un'estratta convergente al massimo limite. Mi chiedevo se le ipotesi del teorema possano essere indebolite. Forse, si può fare a meno della limitatezza?
Dalla dimostrazione mi rendo conto che forse, la dimostrazione non necessita fortemente dell'ipotesi che l'estratta di cui vogliamo dimostrarne l'esistenza converga al massimo limite. Infatti è sufficiente considerare un $l \in RR$ tale che frequentemente , $AA \epsilon > 0 $ soddisfa $-\epsilon + l < a_n < \epsilon + l$, cioè è sufficiente richiedere che, comunque fissi un $\epsilon$ ,
$AA n \in NN EE k \in NN , k>=n : -\epsilon (*)
Infatti, se $\epsilon = 1 : EE k_1 >=0 : l-1
.
.
.
$\epsilon = 1/n EE k_n >= k_(n-1) : l-1/n
In particolare $AA n \in NN$ si ha
1) ${k_n}$ è strettamente crescente.
2) $0<=|a_(k_n) - l | < 1/n$
Da due , per convergenza obbligata si ha che ${a_(k_n)} -> l$.
Dall'ipotesi di limitatezza, abbiamo la garanzia che esista il massimo limite ( minimo limite) e quindi l'esistenza di un certo $l$ che soddisfa (*) e che quindi possiamo andare avanti con il tipo di dimostrazione riportato.
Mi chiedevo se non fosse equivalente enunciare questo teorema al seguente modo :
Sia ${a_n}$ una successione di elementi reali e sia $ l \in RR$ soddisfacente la proprietà (*) .
Allora esiste un'estratta di ${a_n}$ convergente ad $l$.
Spero di essermi fatto capire e di non aver sparato tante minchiate!
Grazie ragazzi.
Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali limitata. Allora $EE {a_(k_n)}$ estratta convergente .
IIl prof ha dimostrato la tesi provando che esiste un'estratta convergente al massimo limite. Mi chiedevo se le ipotesi del teorema possano essere indebolite. Forse, si può fare a meno della limitatezza?
Dalla dimostrazione mi rendo conto che forse, la dimostrazione non necessita fortemente dell'ipotesi che l'estratta di cui vogliamo dimostrarne l'esistenza converga al massimo limite. Infatti è sufficiente considerare un $l \in RR$ tale che frequentemente , $AA \epsilon > 0 $ soddisfa $-\epsilon + l < a_n < \epsilon + l$, cioè è sufficiente richiedere che, comunque fissi un $\epsilon$ ,
$AA n \in NN EE k \in NN , k>=n : -\epsilon
Infatti, se $\epsilon = 1 : EE k_1 >=0 : l-1
.
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.
$\epsilon = 1/n EE k_n >= k_(n-1) : l-1/n
In particolare $AA n \in NN$ si ha
1) ${k_n}$ è strettamente crescente.
2) $0<=|a_(k_n) - l | < 1/n$
Da due , per convergenza obbligata si ha che ${a_(k_n)} -> l$.
Dall'ipotesi di limitatezza, abbiamo la garanzia che esista il massimo limite ( minimo limite) e quindi l'esistenza di un certo $l$ che soddisfa (*) e che quindi possiamo andare avanti con il tipo di dimostrazione riportato.
Mi chiedevo se non fosse equivalente enunciare questo teorema al seguente modo :
Sia ${a_n}$ una successione di elementi reali e sia $ l \in RR$ soddisfacente la proprietà (*) .
Allora esiste un'estratta di ${a_n}$ convergente ad $l$.
Spero di essermi fatto capire e di non aver sparato tante minchiate!
Grazie ragazzi.
Risposte
Di certo il Teorema che hai enunciato tu e quello di BW non sono la stessa cosa, il tuo è più "forte". Basti pensare a $\{a_n\}$ definita da
\[a_{2k}:=0\qquad a_{2k+1}:=2k+1\]
che non è limitata, ma $a_{2k}\to 0$. In realtà, però, il tuo non è altro che una sorta di caratterizzazione (anche abbastanza immediata), ché le condizioni "esiste un'estratta che converge" e "$ \exists l\in RR$ tale che $\forall\epsilon>0$, frequentemente $|a_n-l|<\epsilon$" sono equivalenti. La filosofia del Teorema di BW, invece, è quella di dare una condizione sufficiente per l'esistenza di un $l$ che faccia quel lavoro lì, i.e. la limitatezza. Potrebbe essere leggermente più interessante osservare che si può dare una condizione sufficiente più debole della limitatezza, che è quella per cui $"limsup"_{n} a_n\in RR$.
\[a_{2k}:=0\qquad a_{2k+1}:=2k+1\]
che non è limitata, ma $a_{2k}\to 0$. In realtà, però, il tuo non è altro che una sorta di caratterizzazione (anche abbastanza immediata), ché le condizioni "esiste un'estratta che converge" e "$ \exists l\in RR$ tale che $\forall\epsilon>0$, frequentemente $|a_n-l|<\epsilon$" sono equivalenti. La filosofia del Teorema di BW, invece, è quella di dare una condizione sufficiente per l'esistenza di un $l$ che faccia quel lavoro lì, i.e. la limitatezza. Potrebbe essere leggermente più interessante osservare che si può dare una condizione sufficiente più debole della limitatezza, che è quella per cui $"limsup"_{n} a_n\in RR$.
$ "limsup"_{n} a_n\in RR $
Ti ringrazio giuseppe per la tua risposta.
*detto cacchiata .
Dico, se diciamo che il massimo limite sia reale, non abbiamo a gratis che $a_n$ sia limitata?
"Plepp":
Di certo il Teorema che hai enunciato tu e quello di BW non sono la stessa cosa, il tuo è più "forte". Basti pensare a $\{a_n\}$ definita da
\[a_{2k}:=0\qquad a_{2k+1}:=2k+1\]
che non è limitata, ma $a_{2k}\to 0$. In realtà, però, il tuo non è altro che una sorta di caratterizzazione (anche abbastanza immediata), ché le condizioni "esiste un'estratta che converge" e "$ \exists l\in RR$ tale che $\forall\epsilon>0$, frequentemente $|a_n-l|<\epsilon$" sono equivalenti. La filosofia del Teorema di BW, invece, è quella di dare una condizione sufficiente per l'esistenza di un $l$ che faccia quel lavoro lì, i.e. la limitatezza. Potrebbe essere leggermente più interessante osservare che si può dare una condizione sufficiente più debole della limitatezza, che è quella per cui $"limsup"_{n} a_n\in RR$.
Ti ringrazio giuseppe per la tua risposta.
*detto cacchiata .
Dico, se diciamo che il massimo limite sia reale, non abbiamo a gratis che $a_n$ sia limitata?
No no. Un esempio è $\{a_n\}$ definita da $a_{2k}:=0$ e $a_{2k+1}:=-(2k+1)$ ($a_n$ vale $0$ nei pari e $-n$ nei dispari). Il $"limsup"$ è $0$, poiché per ogni $k$ intero positivo è
\[L_k:=\sup_{n\ge k} a_n=0\]
ma $a_n$ di certo non è limitata.
\[L_k:=\sup_{n\ge k} a_n=0\]
ma $a_n$ di certo non è limitata.
"Plepp":
No no. Un esempio è $\{a_n\}$ definita da $a_{2k}:=0$ e $a_{2k+1}:=-(2k+1)$ ($a_n$ vale $0$ nei pari e $-n$ nei dispari). Il $"limsup"$ è $0$, poiché per ogni $k$ intero positivo è
\[L_k:=\sup_{n\ge k} a_n=0\]
ma $a_n$ di certo non è limitata.
hai ragione, grazie peppe.
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