[Bolzano-Weierstrass]Punti della dimostrazione in sintesi
Ciao a tutti.Ho una richiesta un po' insolita.Sto studiando la dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass,ma non riesco ancora a farmene un quadro generale che mi faccia capire veramente cosa sto facendo e perchè.
Il mio libro dimostra il teorema nella forma "Qualunque successione limitata di reali possiede almeno una sottosuccessione convergente",e poco prima spiega che nella dimostrazione si userà il metodo di bisezione per costruire due successioni,una debolmente crescente(a),l'altra debolmente decrescente(b),tali che $b(n)=a(n)+(b(0)-a(0))/2^n$
Quello che vic chiedo è di tradurre dal "matematichese" all'italiano i punti della dimostrazione,cioè senza usare formule e formalismi(se riuscite a spiegarmelo con formule ma in modo che anche un bambino possa capire ,ben venga...
)
Il mio libro dimostra il teorema nella forma "Qualunque successione limitata di reali possiede almeno una sottosuccessione convergente",e poco prima spiega che nella dimostrazione si userà il metodo di bisezione per costruire due successioni,una debolmente crescente(a),l'altra debolmente decrescente(b),tali che $b(n)=a(n)+(b(0)-a(0))/2^n$
Quello che vic chiedo è di tradurre dal "matematichese" all'italiano i punti della dimostrazione,cioè senza usare formule e formalismi(se riuscite a spiegarmelo con formule ma in modo che anche un bambino possa capire ,ben venga...
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Risposte
Se ben ricordo si tratta di questa ragionamento:
tu hai un numero infinito di punti, un insieme infinito di punti.
Se dividi in due parti l'insieme puoi avere questi casi:
- un insieme infinito e uno finito
- due insiemi infiniti.
In ogni caso dei due insiemi scegli quello infinito, che esiste sempre, abbiamo visto.
Ora, supponiamo che l'insieme A di partenza contiene punti che vanno da -1 a +1 ad esempio.
Come dividiamo l'insieme A ? Un insieme dei punti che sta tra 0 e 1 e l'altro sarà l'insieme dei punti che sta tra -1 e 0.
Quindi uno di questi due contiene infiniti punti, ad esempio sia quello [0,1].
Ora ripeti il procedimento, e immaginiamo di considerare l'insieme [1/2, 1].
E così via....
Alla fine l'intervallo si restringe sempre di più, cioè l'intervallo [a,b] avrà $a \to l $ e $b \to l$, ma contiene sempre infiniti punti.
Quindi possiamo dire che esiste una sottosuccessione che converge a un limite $l$.
OK ?
tu hai un numero infinito di punti, un insieme infinito di punti.
Se dividi in due parti l'insieme puoi avere questi casi:
- un insieme infinito e uno finito
- due insiemi infiniti.
In ogni caso dei due insiemi scegli quello infinito, che esiste sempre, abbiamo visto.
Ora, supponiamo che l'insieme A di partenza contiene punti che vanno da -1 a +1 ad esempio.
Come dividiamo l'insieme A ? Un insieme dei punti che sta tra 0 e 1 e l'altro sarà l'insieme dei punti che sta tra -1 e 0.
Quindi uno di questi due contiene infiniti punti, ad esempio sia quello [0,1].
Ora ripeti il procedimento, e immaginiamo di considerare l'insieme [1/2, 1].
E così via....
Alla fine l'intervallo si restringe sempre di più, cioè l'intervallo [a,b] avrà $a \to l $ e $b \to l$, ma contiene sempre infiniti punti.
Quindi possiamo dire che esiste una sottosuccessione che converge a un limite $l$.
OK ?
Ok,perfetto.Anche se continuo a non capire il significato di questa espressione
Più che altro non ne vedo il significato "geometrico"
"Mifert4":
b(n)=a(n)+(b(0)-a(0))/2^n$
Più che altro non ne vedo il significato "geometrico"
"Quinzio":
Se dividi in due parti l'insieme puoi avere questi casi:
- un insieme infinito e uno finito
- due insiemi infiniti.
In ogni caso dei due insiemi scegli quello infinito, che esiste sempre, abbiamo visto.
Se proprio vuoi fare una bella figura, puoi aggiungere che in questo passaggio viene usato l'Assioma della Scelta. Un assioma dalla storia affascinante e che incontrerai molto spesso nei tuoi studi (se sono di Matematica. Se non lo sono, farete finta di niente e lascerete le pippe mentali ai matematici).
"Valerio Capraro":
Assioma della Scelta. Un assioma dalla storia affascinante e che incontrerai molto spesso nei tuoi studi (se sono di Matematica. Se non lo sono, farete finta di niente e lascerete le pippe mentali ai matematici).
mOOOOOlto OT
mi racconti la storia affascinante?
le pippe mentali mi avvincono!
@gio: Aspetta, evitiamo l'OT che rischia di essere devastante in questa discussione. Dai un'occhiata qui:
assioma-della-scelta-e-continuita-t40255.html
e se necessario continua a discutere lì oppure apri una nuova discussione. Per questo argomento puoi scegliere davvero la stanza che vuoi: Analisi, Algebra o Geometria, vanno bene tutte e tre.
assioma-della-scelta-e-continuita-t40255.html
e se necessario continua a discutere lì oppure apri una nuova discussione. Per questo argomento puoi scegliere davvero la stanza che vuoi: Analisi, Algebra o Geometria, vanno bene tutte e tre.
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