Bloccato nell'equazione $z^8 = (1+i)/(sqrt(3)-i)$

[lucabro1]

L'esercizio chiede, come da oggetto, di trovare le soluzioni in $\mathbb{C}$ dell'equazione:

$z^8 = (1+i)/(sqrt(3)-i)$

prima ho diviso parte reale da quella immaginaria:

$(1+i)/(sqrt(3)-i) = ((1+i)(sqrt(3)+i))/((sqrt(3)-i)(sqrt(3)+i)) = ((sqrt(3)-1)/4)+i((1+sqrt(3)))/4$

e già qui... ma andando avanti cercando il modulo, per poter convertire in forma trigonometrica, ottengo:

$\sigma = sqrt(((3+1-2sqrt(3))/16)+((1+3+2sqrt(3))/16)) = sqrt(2)/2$

a questo punto ho cercato di trovare coseno e seno:

$cos(\phi) = ((sqrt(3)-1)/4)(2/sqrt(2)) = (sqrt(6)-sqrt(2))/4$

e qui il sospetto di aver pestato una immane deiezione equina da qualche parte è davvero forte, infatti non riesco a far corrispondere questo coseno a nessun particolare angolo noto e quindi sono bloccato...

Qualche suggerimento?

[Camillo]

$(phi =5*pi/12)$

[lucabro1]

era un angolo noto o ci si può arrivare in qualche modo partendo dal valore di un coseno?

Grazie ovviamente

[Camillo]

I tuoi conti sono giusti e allora ci deve essere un angolo più o meno noto ; è bastato verificare quanto valga $arccos ((sqrt(6)-sqrt(2))/4) $ e trovare l'angolo di $75°$ cioè $5 pi/12$

[totissimus]

\( \displaystyle 1+i=\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\)
\( \displaystyle \sqrt{3}-i=2 e^{-\frac{\pi}{6}i}\)
\(\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}-i}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} \right)i}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{5}{12}i}\)

[Camillo]

Il metodo migliore !

[21zuclo]

ricordo solo all'utente lucabro la seguente formula

Teorema
sia $ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta) $ un numero complesso non nullo e sia $ n $ un intero positivo.
Allora esistono $n$ radici n-esime di z.
Esse hanno l'espressione $ \rho^(1/n)[\cos((\theta+2k\pi)/(n))+i\sin((\theta+2k\pi)/(n))] $
con $ k=0,1,...,n-1 $

OPPURE usando la notazione esponenziale $ \rho^(1/n)\exp(i(\theta+2k\pi)/(n)); k=0,1,...,n-1 $

[lucabro1]

Ottimo! Ringrazio tutti! Le formule citate da 21zucio mi erano note, ma il problema era proprio il coseno trovato che non riuscivo a ricondurlo a nessun angolo noto

[21zuclo]

"lucabro":Ottimo! Ringrazio tutti! Le formule citate da 21zucio mi erano note, ma il problema era proprio il coseno trovato che non riuscivo a ricondurlo a nessun angolo noto

io mi aiutavo o con le tavole trigonometriche oppure c'è quest'altra formula per ricavarsi l'angolo

$y/x=(\sin\theta)/(\cos\theta)=\tan(\theta)\to \theta=\arctan(y/x)$

per esempio se $y/x=1\to \tan\theta=1$ quindi saprai sicuramente che è $\theta=\pi/4$ e $\theta=5/4\pi$

poi a seconda di dove ti trovi..tipo se sei nel primo quadrante allora è $\theta=\pi/4$

usare l'arctan mi era stato suggerito dall'esercitatore.. poi ovviamente ci ha detto "usate la formula che preferite, basta che sia giusto".. xD..

[lucabro1]

e se lo dice l'esercitatore, chi siamo noi per farci problemi? XD

Comunque ti ringrazio