Bloccato con un limite
Ciao, sto avendo grossi problemi nello studiare il limite per $(x,y)->(0,0)$ della funzione $(x^4y^2)/(x^6+y^4)$. Lungo le rette per l'origine il limite è nullo, lungo gli assi e nullo, lungo le parabole con vertice nell'origine è nullo, quindi è probabile che questo limite esista e faccia zero. Però non riesco a dimostrarlo con la definizione, perché non riesco a fare le maggiorazioni opportune del caso. insomma, non riesco a dimostrare che è zero ma neanche che non esiste. Vi prego, tiratemi fuori:)
Grazieee
Grazieee
Risposte
Se ho letto bene,dal mio cellulare che non compila il tex,ti basta osservare che
$0 le |f(x,y)|=(|x|^3y^2)/((|x|^3)^2+(y^2)^2)|x| le 1/2|x|$ $AA (x,y) in RR^2 setminus {(0,0)}$,come agevolmente importabile dall'evidente disuguaglianza $(a-b)^2 le 0$ $AA a,b in RR$:
saluti dal web.
$0 le |f(x,y)|=(|x|^3y^2)/((|x|^3)^2+(y^2)^2)|x| le 1/2|x|$ $AA (x,y) in RR^2 setminus {(0,0)}$,come agevolmente importabile dall'evidente disuguaglianza $(a-b)^2 le 0$ $AA a,b in RR$:
saluti dal web.
Ciao theras, grazie per la risposta, ho capito:)
Vi volevo chiedere un'altra cosa: questo limite si può calcolare solo nel modo proposto da theras, e cioè con la definizione giusto?
Un'altra procedura potrebbe essere questa, ma poi è impossibile da portare a termine. Dopo aver constatato che lungo rette, parabole, cubiche ecc... il limite è nullo, si potrebbe procedere così. Passo alle coordinate polari sostituendo alla x e alla y della mia funzione le quantità $rho cos theta$, $rho sin theta$. Si ottiene dunque una nuova funzione, e si constata che, facendo tendere la variabile $rho$ a zero, il limite è zero ed è indipendente da $theta$. Aver constatato ciò, tuttavia, non basta per concludere che il limite della $f(x,y)$ esista e valga $0$. Potrebbe infatti anche non esistere. Per provare che il limite è effettivamente zero, un modo alternativo alla definizione è maggiorare la funzione polare con una funzione che dipende solo da $rho$ che tende a $0$ per $rho$ tendente a zero. Tuttavia in questo caso questa maggiorazione non si riesce a fare. Quindi non resta che dimostrarlo con la definizione. Potete dirmi se quello che ho scritto è giusto? E' di fondamentale importanza per me aver capito questa cosa.
Ricapitolando, se io devo calcolare un limite e dimostro che la funzione riscritta in coordinate polari ha come limite $l$ per $rho$ tendente a zero, con $l$ numero, quindi indipendente da teta, ciò non basta per concludere che il limite della funzione di partenza sia $l$: devo sempre maggiorare la funzione polare con una funzione dipendente solo da $rho$ e dimostrare che quest'ultima è infinitesima per $rho$ tendente a zero...ci sono?
Vi volevo chiedere un'altra cosa: questo limite si può calcolare solo nel modo proposto da theras, e cioè con la definizione giusto?
Un'altra procedura potrebbe essere questa, ma poi è impossibile da portare a termine. Dopo aver constatato che lungo rette, parabole, cubiche ecc... il limite è nullo, si potrebbe procedere così. Passo alle coordinate polari sostituendo alla x e alla y della mia funzione le quantità $rho cos theta$, $rho sin theta$. Si ottiene dunque una nuova funzione, e si constata che, facendo tendere la variabile $rho$ a zero, il limite è zero ed è indipendente da $theta$. Aver constatato ciò, tuttavia, non basta per concludere che il limite della $f(x,y)$ esista e valga $0$. Potrebbe infatti anche non esistere. Per provare che il limite è effettivamente zero, un modo alternativo alla definizione è maggiorare la funzione polare con una funzione che dipende solo da $rho$ che tende a $0$ per $rho$ tendente a zero. Tuttavia in questo caso questa maggiorazione non si riesce a fare. Quindi non resta che dimostrarlo con la definizione. Potete dirmi se quello che ho scritto è giusto? E' di fondamentale importanza per me aver capito questa cosa.
Ricapitolando, se io devo calcolare un limite e dimostro che la funzione riscritta in coordinate polari ha come limite $l$ per $rho$ tendente a zero, con $l$ numero, quindi indipendente da teta, ciò non basta per concludere che il limite della funzione di partenza sia $l$: devo sempre maggiorare la funzione polare con una funzione dipendente solo da $rho$ e dimostrare che quest'ultima è infinitesima per $rho$ tendente a zero...ci sono?
UP!
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