Binomio di Newton e derivate
Ciao a tutti, ho un po' di difficoltà nel capire come è stato svolto questo passaggio...
Mi vengono date le seguenti funzioni
$ L_n(x)=e^x/(n!)d^n/dx^n (x^n e^-x) $ con n=0,1,2,3...
e mi viene chiesto di dimostrare che, per ogni dato, Ln è un polinomio di grado n (Polinomio fi Laguerre).
Bene, io mi ritrovo nella soluzione che
$ L_n(x)=e^x/(n!)sum_(k =0 )^n ( (n), (k) ) d^(n-k)/dx^(n-k) x^n d^k/dx^k e^(-x) $
come mai? Io ho pensato alla formula della derivazione del prodotto di funzioni
$ (d^n/dx^n x^n)e^(-x)-x^n(d^n/dx^n e^(-x)) $ alla quale poi applico la formula del binomio di newton
$ (a+b)^n=sum_(k =0)^n ( (n), (k) ) a^(n-k)b^k $ però non mi torna.
Mi vengono date le seguenti funzioni
$ L_n(x)=e^x/(n!)d^n/dx^n (x^n e^-x) $ con n=0,1,2,3...
e mi viene chiesto di dimostrare che, per ogni dato, Ln è un polinomio di grado n (Polinomio fi Laguerre).
Bene, io mi ritrovo nella soluzione che
$ L_n(x)=e^x/(n!)sum_(k =0 )^n ( (n), (k) ) d^(n-k)/dx^(n-k) x^n d^k/dx^k e^(-x) $
come mai? Io ho pensato alla formula della derivazione del prodotto di funzioni
$ (d^n/dx^n x^n)e^(-x)-x^n(d^n/dx^n e^(-x)) $ alla quale poi applico la formula del binomio di newton
$ (a+b)^n=sum_(k =0)^n ( (n), (k) ) a^(n-k)b^k $ però non mi torna.
Risposte
Sì, formalmente è lo stesso: lo sviluppo di $text(D)^((n))[f * g]$ è quello di $(f+g)^n$ si ottengono allo stesso modo (scambiando esponenti con ordine di derivazione).
Si chiama formula di Leibniz e si dimostra per induzione (roba da Analisi I ai miei tempi).
Si chiama formula di Leibniz e si dimostra per induzione (roba da Analisi I ai miei tempi).
Chiaro 
Grazie
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