Bigezioni (condizioni necessarie e sufficienti)
Allora premetto che la domanda è un pò più generale e rischia di uscire dall'analisi e sfociare nell'algebra.
Ecco la domanda:
Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, allora è possibile affermare che esiste certamente una bigezione tra questi?
Se siamo nel caso del finito o del numerabile la cosa pare ovvia.
Se superiamo questa cardinalità non sarei più tanto sicuro di ciò.
Prendiamo ad esempio l'intervallo (0,1) nel continuo ed $R$.
Esiste una bigazione tra questi due insiemi?
(la risposta dovrebbe se ricordo bene esser affermativa).
E nel caso generale?
Se abbiamo due sottoinsiemi (magari che non sono intervalli) di $R$ che hanno la sua cardinalità?
Ecco la domanda:
Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, allora è possibile affermare che esiste certamente una bigezione tra questi?
Se siamo nel caso del finito o del numerabile la cosa pare ovvia.
Se superiamo questa cardinalità non sarei più tanto sicuro di ciò.
Prendiamo ad esempio l'intervallo (0,1) nel continuo ed $R$.
Esiste una bigazione tra questi due insiemi?
(la risposta dovrebbe se ricordo bene esser affermativa).
E nel caso generale?
Se abbiamo due sottoinsiemi (magari che non sono intervalli) di $R$ che hanno la sua cardinalità?
Risposte
"angus89":Domanda curiosa.
Se due insiemi hanno la stessa cardinalità, allora è possibile affermare che esiste certamente una bigezione tra questi?
Due insiemi si dicono avere la stessa cardinalità se esiste una bigezione tra essi
Confronta con questo.
la risposta teorica te l'ha data Martino, ma penso che la conoscessi già.
naturalmente il fatto che una tal funzione esista non significa automaticamente che sia semplice trovarla, perché, come saprai, un insieme infinito è caratterizzato proprio dal fatto che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria, e quindi se tenti di mettere in corrispondenza biunivoca due insiemi equipotenti il più delle volte troverai una funzione iniettiva o una relazione univoca che non è una funzione...
se ti riferisci invece al caso specifico, quello è un esempio tipico (un segmento privato degli estremi i cui punti sono messi in relazione con i punti della retta cui il segmento appartiene, e la relazione è una funzione biunivoca). te lo presento sinteticamente:
faccio riferimento ad un segmento AB (tu puoi vederci l'intervallo $(0,1)$). sia $M$ il punto medio di AB. $AM=MB=r=1/2" nel tuo caso"$.
prendi una retta $s$ parallela ad AB e sia $O$ la proiezione di $M$ su $s$. traccia la circonferenza di centro $O$ e raggio $r$. ti interessa solo la semicirconferenza compresa tra la retta AB e la retta $s$.
se prendi un qualsiasi punto $P$ del segmento AB, a partire da $P$ tracci la perpendicolare ad AB, e chiami $Q$ il punto d'intersezione con la semicirconferenza.
tracci il raggio $OQ$ e lo prolunghi fino ad incontrare la retta AB nel punto $P'$. P e P' sono i punti in corrispondenza.
viceversa, se parti da $P'$, unisci $P'$ con $O$ e $Q$ sarà il punto d'intersezione con la semicirconferenza, e $P$ sarà la proiezione di $Q$ su AB.
la corrispondenza è biunivoca.
spero si capisca. ciao.
naturalmente il fatto che una tal funzione esista non significa automaticamente che sia semplice trovarla, perché, come saprai, un insieme infinito è caratterizzato proprio dal fatto che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria, e quindi se tenti di mettere in corrispondenza biunivoca due insiemi equipotenti il più delle volte troverai una funzione iniettiva o una relazione univoca che non è una funzione...
se ti riferisci invece al caso specifico, quello è un esempio tipico (un segmento privato degli estremi i cui punti sono messi in relazione con i punti della retta cui il segmento appartiene, e la relazione è una funzione biunivoca). te lo presento sinteticamente:
faccio riferimento ad un segmento AB (tu puoi vederci l'intervallo $(0,1)$). sia $M$ il punto medio di AB. $AM=MB=r=1/2" nel tuo caso"$.
prendi una retta $s$ parallela ad AB e sia $O$ la proiezione di $M$ su $s$. traccia la circonferenza di centro $O$ e raggio $r$. ti interessa solo la semicirconferenza compresa tra la retta AB e la retta $s$.
se prendi un qualsiasi punto $P$ del segmento AB, a partire da $P$ tracci la perpendicolare ad AB, e chiami $Q$ il punto d'intersezione con la semicirconferenza.
tracci il raggio $OQ$ e lo prolunghi fino ad incontrare la retta AB nel punto $P'$. P e P' sono i punti in corrispondenza.
viceversa, se parti da $P'$, unisci $P'$ con $O$ e $Q$ sarà il punto d'intersezione con la semicirconferenza, e $P$ sarà la proiezione di $Q$ su AB.
la corrispondenza è biunivoca.
spero si capisca. ciao.
"adaBTTLS":Probabilmente sì, ma l'ho data comunque perché credo sia utile sapere che ci si è espressi in modo non corretto.
la risposta teorica te l'ha data Martino, ma penso che la conoscessi già.
"adaBTTLS":
un insieme infinito è caratterizzato proprio dal fatto che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria
aggiungo per completezza che si potrebbe anche definire un insieme infinito come un insieme non finito e che le due definizioni sono equivalenti solo se si accetta l'assioma della scelta.
"angus89":
Prendiamo ad esempio l'intervallo (0,1) nel continuo ed $R$.
Esiste una bigazione tra questi due insiemi?
(la risposta dovrebbe se ricordo bene esser affermativa).
Ovvio che sì...
Se ti faccio un disegnino, capisci anche come si può costruire esplicitamente:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("labels");
dot([0.5,0.5]);
plot("0.5-sqrt(0.25-(x-0.5)^2)", 0, 1);
dot([1.5,0]);
stroke="dodgerblue";
line([1.5,0],[0.5,0.5]);
stroke="red";
line([0.95,0.28],[0.95,0]);
dot([0.95,0]);
text([0.5,0.5],"C",aboveright);
text([0.95,0.28],"P",right);
text([1.5,0],"x",below);
text([0.95,0],"f(x)",belowleft);[/asvg]
Insomma il procedimento è questo:
- disegni la semicirconferenza di centro $C=(1/2,1/2)$ e raggio $r=1/2$ che si trova sotto la retta d'equazione $y=1/2$;
- fissi $x \in RR$ e segni sull'asse delle ascisse il punto $X=(x,0)$;
- congiungi $X$ con $C$ con un segmento;
- chiami $P$ l'unico punto d'intersezione del segmento con la semicirconferenza: esso ha, per costruzione la prima coordinata in $]0,1[$;
- proietti $P$ sull'asse delle ascisse e chiami $f(x)$ l'ascissa della proiezione.
La funzione $x\mapsto f(x)$ è biiettiva per evidenti motivi geometrici.
E una biiezione tra $RR$ e $[0,1]$?
Non so se ne esistono di umane.
Non so se ne esistono di umane.
Difficile dirlo, perchè non sono omeomorfi...
P.S.: Evidentemente le applicazioni di cui parliamo io ed adaBTTLS sono l'una l'inversa dell'altra.
P.S.: Evidentemente le applicazioni di cui parliamo io ed adaBTTLS sono l'una l'inversa dell'altra.
sisi certo, quello che inendevo era se era possibile sempre trovare una formula (analitica o no) che esplicita tale bigezione...
Ora ci siamo
Ora ci siamo
Beh, io mi ricordo che esiste una biezione che associa $(0,1)$ ad $(a,b)$.
Chiamo $h: (a,b)\to (0,1)$ definita come $h(x)= (x-a)/(b-a)$ la cui inversa è $h^(-1)(x)= (b-a)x+a$. Nel nostro caso ci conviene prendere $a=-\pi/2$, $b=\pi/2$. Dunque $h^(-1)(x) = \pi x - \pi/2$. Osserva che $h^(-1): (0,1)\to (-\pi/2, pi/2)$. Ricordando ora che $tan(x)$ è una biezione tra $(-pi/2, pi/2)$ ed $RR$ allora:
$f(x)=tan(h^(-1)(x))= tan(\pi x - \pi/2)= $ è una biezione tra $(0,1)$ ed $RR$.
[size=75]Edit: modificato un errore [/size]
Chiamo $h: (a,b)\to (0,1)$ definita come $h(x)= (x-a)/(b-a)$ la cui inversa è $h^(-1)(x)= (b-a)x+a$. Nel nostro caso ci conviene prendere $a=-\pi/2$, $b=\pi/2$. Dunque $h^(-1)(x) = \pi x - \pi/2$. Osserva che $h^(-1): (0,1)\to (-\pi/2, pi/2)$. Ricordando ora che $tan(x)$ è una biezione tra $(-pi/2, pi/2)$ ed $RR$ allora:
$f(x)=tan(h^(-1)(x))= tan(\pi x - \pi/2)= $ è una biezione tra $(0,1)$ ed $RR$.
[size=75]Edit: modificato un errore [/size]
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