Biezione fra $[0,1)$ e $[0,1]$
Mostrare che $[0,1)$ e $[0,1]$ sono in corrispondenza biunivoca.
Usando il fatto che $f:[0,1)->RR$ definita come $f(x)=(2x-1)/(x^2-x)$ è biettiva e $g:RR->[0,1]$ definita come $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ è biettiva allora la loro composizione è biettiva ed è $(g ∘ f):[0,1)->[0,1]$ definita come $(g ∘ f)(x)=(2x^2-1+sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2)$. Se si vede il grafico di $g ∘ f$ coincide proprio con la funzione $y=x$ (il che è ragionevole in termini di biettività fra $[0,1)$ e $[0,1]$) ma come mai succede questo (ovvero come fanno effettivamente a essere uguali queste due funzioni) e soprattutto la funzione $g ∘ f$ non dovrebbe esistere in $x=1/2$ (in quanto viene $0/0$)? Inoltre ho notato che questi comportamenti strani derivano proprio dalla funzione $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ (basta pensare che in $0$ non esiste dato che viene $0/0$).
Usando il fatto che $f:[0,1)->RR$ definita come $f(x)=(2x-1)/(x^2-x)$ è biettiva e $g:RR->[0,1]$ definita come $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ è biettiva allora la loro composizione è biettiva ed è $(g ∘ f):[0,1)->[0,1]$ definita come $(g ∘ f)(x)=(2x^2-1+sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2)$. Se si vede il grafico di $g ∘ f$ coincide proprio con la funzione $y=x$ (il che è ragionevole in termini di biettività fra $[0,1)$ e $[0,1]$) ma come mai succede questo (ovvero come fanno effettivamente a essere uguali queste due funzioni) e soprattutto la funzione $g ∘ f$ non dovrebbe esistere in $x=1/2$ (in quanto viene $0/0$)? Inoltre ho notato che questi comportamenti strani derivano proprio dalla funzione $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ (basta pensare che in $0$ non esiste dato che viene $0/0$).
Risposte
ottimo
Grazie, mille dell'aiuto (a tutti).
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