Biezione fra $[0,1)$ e $[0,1]$
Mostrare che $[0,1)$ e $[0,1]$ sono in corrispondenza biunivoca.
Usando il fatto che $f:[0,1)->RR$ definita come $f(x)=(2x-1)/(x^2-x)$ è biettiva e $g:RR->[0,1]$ definita come $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ è biettiva allora la loro composizione è biettiva ed è $(g ∘ f):[0,1)->[0,1]$ definita come $(g ∘ f)(x)=(2x^2-1+sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2)$. Se si vede il grafico di $g ∘ f$ coincide proprio con la funzione $y=x$ (il che è ragionevole in termini di biettività fra $[0,1)$ e $[0,1]$) ma come mai succede questo (ovvero come fanno effettivamente a essere uguali queste due funzioni) e soprattutto la funzione $g ∘ f$ non dovrebbe esistere in $x=1/2$ (in quanto viene $0/0$)? Inoltre ho notato che questi comportamenti strani derivano proprio dalla funzione $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ (basta pensare che in $0$ non esiste dato che viene $0/0$).
Usando il fatto che $f:[0,1)->RR$ definita come $f(x)=(2x-1)/(x^2-x)$ è biettiva e $g:RR->[0,1]$ definita come $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ è biettiva allora la loro composizione è biettiva ed è $(g ∘ f):[0,1)->[0,1]$ definita come $(g ∘ f)(x)=(2x^2-1+sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2)$. Se si vede il grafico di $g ∘ f$ coincide proprio con la funzione $y=x$ (il che è ragionevole in termini di biettività fra $[0,1)$ e $[0,1]$) ma come mai succede questo (ovvero come fanno effettivamente a essere uguali queste due funzioni) e soprattutto la funzione $g ∘ f$ non dovrebbe esistere in $x=1/2$ (in quanto viene $0/0$)? Inoltre ho notato che questi comportamenti strani derivano proprio dalla funzione $g(x)=(x+2-sqrt(x^2+4))/(2x)$ (basta pensare che in $0$ non esiste dato che viene $0/0$).
Risposte
Ma la \(f\) e la \(g\) non esistono in \(0\).
Non sono poi mica tanto d'accordo col fatto che il grafico di \(g \circ f\) coincida con quello di \(y = x\), dato che \(\displaystyle g \circ f = \frac{x - 1}{2x - 1}\).
"G.D.":
Non sono poi mica tanto d'accordo col fatto che il grafico di \(g \circ f\) coincida con quello di \(y = x\), dato che \(\displaystyle g \circ f = \frac{x - 1}{2x - 1}\).
Ma in realtà viene $(g ∘ f)(x)=(2x^2-1+sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2)$ (ovviamente fra $[0,1)$) che se metti su geogebra ti viene identica a $y=x$.
"G.D.":
Ma la \(f\) e la \(g\) non esistono in \(0\).
In teoria però facendo i limiti nei punti dove non esiste la funzione riesci a ottenere tutti i valori necessari
Andrea la funzione $f$ non esiste in $0$ e nemmeno il suo limite in $0$ esiste (finito).
Ciao andreadel1988,
Osserva che si ha:
$ 4x^4-8x^3+8x^2-4x+1 = (2x^2 - 2x + 1)^2 $
Sicché si ha:
$ y = (2x^2-1+\sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2) = (2x^2-1 + 2x^2-2x+1)/(4x-2) = (4 x^2 - 2x)/(4x - 2) = $ $ = (x(4x - 2))/(4x - 2) = x $
purché $ x \ne 1/2 $
Osserva che si ha:
$ 4x^4-8x^3+8x^2-4x+1 = (2x^2 - 2x + 1)^2 $
Sicché si ha:
$ y = (2x^2-1+\sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2) = (2x^2-1 + 2x^2-2x+1)/(4x-2) = (4 x^2 - 2x)/(4x - 2) = $ $ = (x(4x - 2))/(4x - 2) = x $
purché $ x \ne 1/2 $
Sì ho sbagliato a fare i conti.
Resta il fatto che \(f\) e \(g\) non esistono in \(x=0\).
Resta il fatto che \(f\) e \(g\) non esistono in \(x=0\).
Io noterei che è impossibile che esista una bigezione continua da $[0,1]$ a $[0,1)$...
"ViciousGoblin":
Io noterei che è impossibile che esista una bigezione continua da $[0,1]$ a $[0,1)$...
Già... E ciò significa che per trovare una biiezione di $[0,1)$ in $[0,1]$ bisogna "tappare" un buco, "spostando" un oggetto in una posizione che non gli competerebbe; ma ciò genera un secondo buco, che va "tappato" "spostando" un secondo oggetto al posto del primo; ma ciò genera un terzo buco, che va "tappato"...
Io direi che $f : (0, 1) \rightarrow \RR $ e $g : \RR_{- 0} \rightarrow C $
ove $ \RR_{- 0} := (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ e $C := (0, 1/2) \cup (1/2, 1) $
La funzione $g$ può essere estesa per continuità ponendo
$g^{\star}(x) := {(g(x) \text{ se } x \ne 0),(1/2 \text{ se } x=0):}$
A questo punto $g^{\star} : \RR \rightarrow (0, 1) $
ove $ \RR_{- 0} := (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ e $C := (0, 1/2) \cup (1/2, 1) $
La funzione $g$ può essere estesa per continuità ponendo
$g^{\star}(x) := {(g(x) \text{ se } x \ne 0),(1/2 \text{ se } x=0):}$
A questo punto $g^{\star} : \RR \rightarrow (0, 1) $
"pilloeffe":
Io direi che $f : (0, 1) \rightarrow \RR $ e $g : \RR_{- 0} \rightarrow C $
ove $ \RR_{- 0} := (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ e $C := (0, 1/2) \cup (1/2, 1) $
La funzione $g$ può essere estesa per continuità ponendo
$g^{\star}(x) := {(g(x) \text{ se } x \ne 0),(1/2 \text{ se } x=0):}$
A questo punto $g^{\star} : \RR \rightarrow (0, 1) $
Quindi componendo $g^{\star}$ con $f$ in teoria ottengo una biezione fra $[0,1)$ e $[0,1]$
No Andrea, ripeto (e l'ha detto più volte anche G.D.) che $f$ non esiste in $0$ e non è estendibile in $0$. Perché non leggi le risposte?
"pilloeffe":
Ciao andreadel1988,
Osserva che si ha:
$ 4x^4-8x^3+8x^2-4x+1 = (2x^2 - 2x + 1)^2 $
Sicché si ha:
$ y = (2x^2-1+\sqrt(4x^4-8x^3+8x^2-4x+1))/(4x-2) = (2x^2-1 + 2x^2-2x+1)/(4x-2) = (4 x^2 - 2x)/(4x - 2) = $ $ = (x(4x - 2))/(4x - 2) = x $
purché $ x \ne 1/2 $
Grazie, il fatto che in realtà la funzione sia uguale $x$ ma poi non è definita in $x=1/2$ è strano anche se comprensibile perchè originariamente la funzione aveva un dominio diverso e poi con i passaggi in cui supponiamo $x!=1/2$ ricaviamo $x$
Un'altra strada potrebbe essere considerare $f : (0, 1) \rightarrow \RR $ e $ h: \RR \rightarrow (0, 1) $ con $h(x) := 2/(x+2+sqrt(x^2+4)) $
Continuate a proporre funzioni continue.... Non potete riuscirci 
"Martino":Riporto qui per maggior chiarezza.
No Andrea, ripeto (e l'ha detto più volte anche G.D.) che $f$ non esiste in $0$ e non è estendibile in $0$. Perché non leggi le risposte?
Scusate se mi intrometto ma qualche tempo ho letto un problema simile risalente a quasi un secolo fa.
Il quesito è il seguente:
Set up a one-to-one correspondence between the points in the open interval $0
Ivi vengono riportate due soluzioni; se interessa, quando ho un po' di tempo, posso postarle.
Cordialmente, Alex
Il quesito è il seguente:
Set up a one-to-one correspondence between the points in the open interval $0
Ivi vengono riportate due soluzioni; se interessa, quando ho un po' di tempo, posso postarle.
Cordialmente, Alex
Forse posto $C=[0,1]nnQQ$ siccome $QQ$ è numerabile possiamo numerare $C={c_i}_(i=1)^(+infty)$ ponendo $c_1=1$ definiamo la funzione $f(x)={(c_(i+1), if x=c_iinC),(x, if xnotinC) :}$
Direi che ci siamo
Poi non è necessario muovere tutti i razionali, basterebe la successione $c_n=1/n$.
Poi non è necessario muovere tutti i razionali, basterebe la successione $c_n=1/n$.
"ViciousGoblin":
Direi che ci siamo
Poi non è necessario muovere tutti i razionali, basterebe la successione $c_n=1/n$.
Ah vabbe, allora pongo
$f(x)={(x/(x+1), if x in{1/n| ninNN, n>=1}),(x, if xnotin{1/n| ninNN, n>=1}):}$
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