Biettività e invertibilità
Buongiorno a tutti,
volevo assicurarmi di aver compreso alcuni concetti riguardo iniettività, suriettività e invertibilità di una funzione.
Prendendo in particolare 2 esempi,
1) Sia $ f: (0,+oo) rarr (0,+oo) $ definita da $ f(x)= 1/(x) $ . Dimostra che la funzione è biettiva e che $ f^-1 = f $ .
1) È iniettiva perchè $ f(x_1) = f(x_2) $ , osssia $ 1/x_1 = 1/x_2 $ e quindi $ x_1 = x_2 $ (unica soluzione);
2) È suriettiva perchè $ y = 1/x $ e quindi $ x= 1/y $ (unica soluzione);
Essendo sia iniettiva che suriettiva, la funzione è per definizione biettiva. Essendo biettiva, esiste l'inversa $ f^-1 $ tale che $ f^-1 = f $ , cioè $ 1/x = x^-1 $ (per le proprietà delle potenze).
E fin qui spero di esserci. In quest'altro esercizio, invece:
2) Sia $ f: (1,+oo) rarr (0,+oo) $ definita da $ f(x)= 1/(x^2-1) $ . Dimostra che la funzione è biettiva e calcolane l'inversa.
1) Non è iniettiva perchè $ 1/((x_1)^2 - 1) = 1/((x_2)^2 -1) $ e quindi $ x_1 = +- x_2 $ e una funzione iniettiva ammette solo un unico risultato del tipo $ x_1 = x_2 $ .
Non essendo iniettiva, la funzione non è quindi biettiva e non è possibile calcolarne l'inversa.
Grazie mille!
---
Non dispongo dei risultati, ma so che nel secondo esercizio si può calcolare l'inversa (che precisamente vale: $ y |-> root()((y+1) / (y)) $): perchè? .
volevo assicurarmi di aver compreso alcuni concetti riguardo iniettività, suriettività e invertibilità di una funzione.
Prendendo in particolare 2 esempi,
1) Sia $ f: (0,+oo) rarr (0,+oo) $ definita da $ f(x)= 1/(x) $ . Dimostra che la funzione è biettiva e che $ f^-1 = f $ .
1) È iniettiva perchè $ f(x_1) = f(x_2) $ , osssia $ 1/x_1 = 1/x_2 $ e quindi $ x_1 = x_2 $ (unica soluzione);
2) È suriettiva perchè $ y = 1/x $ e quindi $ x= 1/y $ (unica soluzione);
Essendo sia iniettiva che suriettiva, la funzione è per definizione biettiva. Essendo biettiva, esiste l'inversa $ f^-1 $ tale che $ f^-1 = f $ , cioè $ 1/x = x^-1 $ (per le proprietà delle potenze).
E fin qui spero di esserci. In quest'altro esercizio, invece:
2) Sia $ f: (1,+oo) rarr (0,+oo) $ definita da $ f(x)= 1/(x^2-1) $ . Dimostra che la funzione è biettiva e calcolane l'inversa.
1) Non è iniettiva perchè $ 1/((x_1)^2 - 1) = 1/((x_2)^2 -1) $ e quindi $ x_1 = +- x_2 $ e una funzione iniettiva ammette solo un unico risultato del tipo $ x_1 = x_2 $ .
Non essendo iniettiva, la funzione non è quindi biettiva e non è possibile calcolarne l'inversa.
Grazie mille!
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Non dispongo dei risultati, ma so che nel secondo esercizio si può calcolare l'inversa (che precisamente vale: $ y |-> root()((y+1) / (y)) $): perchè? .
Risposte
Nel secondo non hai prestato attenzione al dominio di definizione di $f$: sviluppando il conto per verificare se è iniettiva o meno hai trovato $(x_1+x_2) (x_1-x_2)=0$, che implica $x_1 = x_2$ o $ x_1=-x_2$, ma il secondo risultato è da scartare poiché $(x_1,x_2) \in (1, +\infty) \times (1,+\infty)$.
Grazie, immaginavo centrasse qualcosa.
Quindi, mentre verifico la suriettività...
$ f(x) = y $
$ y = 1/(x^2-1) $
e che quindi, in funzione di x:
$ x = +- root()((1+y) / (y)) $
In questo caso, che cosa guardo per verificare la validità di entrambi i risultati?
Sempre il dominio, e quindi scarto la radice negativa, o il codominio (e la scarto comunque ponendo $ y != 0 $ )?
Quindi, mentre verifico la suriettività...
$ f(x) = y $
$ y = 1/(x^2-1) $
e che quindi, in funzione di x:
$ x = +- root()((1+y) / (y)) $
In questo caso, che cosa guardo per verificare la validità di entrambi i risultati?
Sempre il dominio, e quindi scarto la radice negativa, o il codominio (e la scarto comunque ponendo $ y != 0 $ )?
La funzione inversa ha come dominio l'immagine della funzione $f$, da cui l'inversa è $x=f^{-1}(y)=\sqrt(\frac{y+1}{y})$
Vi propongo un altro esercizio su cui ho difficoltà, senza aprire altri topic:
$ f: (0; +oo)rarr [1;+oo) $
$ x|-> $ $ e^[(x-1)^2] $
Devo verificare se sia biettiva e, in caso affermativo, calcolarne l'inversa.
Le soluzioni mi fermano subito, dicendomi che la funzione non è iniettiva, ma ciò è in contrasto con cosa ho verificato io. Dove sbaglio?
1) È iniettiva?
$ e^[(x_1-1)^2] =e^[ (x_2-1)^2] $
essendo la base uguale,
$ (x_1-1)^2 = (x_2-1)^2 $
applicando la radice ad entrambi i membri,
$ x_1-1 = x_2-1 $
ed eliminando i termini uguali,
$ x_1= x_2 $
Guardando anche il grafico (che visto dominio e codominio, si presenta come un ramo di "parabola" che parte da (0,1) e va all'infinito), non mi sembra esista nessuna retta orizzontale che lo intersechi in più di un punto!
$ f: (0; +oo)rarr [1;+oo) $
$ x|-> $ $ e^[(x-1)^2] $
Devo verificare se sia biettiva e, in caso affermativo, calcolarne l'inversa.
Le soluzioni mi fermano subito, dicendomi che la funzione non è iniettiva, ma ciò è in contrasto con cosa ho verificato io. Dove sbaglio?
1) È iniettiva?
$ e^[(x_1-1)^2] =e^[ (x_2-1)^2] $
essendo la base uguale,
$ (x_1-1)^2 = (x_2-1)^2 $
applicando la radice ad entrambi i membri,
$ x_1-1 = x_2-1 $
ed eliminando i termini uguali,
$ x_1= x_2 $
Guardando anche il grafico (che visto dominio e codominio, si presenta come un ramo di "parabola" che parte da (0,1) e va all'infinito), non mi sembra esista nessuna retta orizzontale che lo intersechi in più di un punto!
Hai guardato male il grafico allora.
Da $(x_1 - 1)^2 - (x_2-1)^2=0$, continua e vedrai che non implica solamente $x_1=x_2$...
Da $(x_1 - 1)^2 - (x_2-1)^2=0$, continua e vedrai che non implica solamente $x_1=x_2$...
Arrivo al punto:
$ x_1 (x_1 - 2) = x_2(x_2 - 2) $
ma non so più come continuare.
Forse che sia che $ x_1 = x_2(x_2-2) $ che $ (x_1 - 2) = x_2(x_2-2) $ ?
Ho come l'idea che il risultato sia qualcosa di banale, ma non ne vado fuori.
$ x_1 (x_1 - 2) = x_2(x_2 - 2) $
ma non so più come continuare.
Forse che sia che $ x_1 = x_2(x_2-2) $ che $ (x_1 - 2) = x_2(x_2-2) $ ?
Ho come l'idea che il risultato sia qualcosa di banale, ma non ne vado fuori.
$a^2 -b^2=(a-b)(a+b)$...
Grazie mille, ho risolto 
Un ultimo quesito sempre restando in argomento:
come verifico la iniettività/suriettività (e ne calcolo l'inversa) di una funzione se è posta in questo modo?
$ f(x) = { ( x | x < 0 ),( root()(x) | x >= 0 ):} $
Un ultimo quesito sempre restando in argomento:
come verifico la iniettività/suriettività (e ne calcolo l'inversa) di una funzione se è posta in questo modo?
$ f(x) = { ( x | x < 0 ),( root()(x) | x >= 0 ):} $
Beh, disegnando il grafico è immediato verificare che effettivamente è biiettiva, dal momento che in $0$ si "attacca bene", ossia la funzione è continua.
Per calcolare l'inversa puoi calcolare le inverse $f$ sui due intervalli $x<0, x \geq 0$
Per calcolare l'inversa puoi calcolare le inverse $f$ sui due intervalli $x<0, x \geq 0$
Credo di avere dei grossi problemi riguardanti la comprensione grafica:
- iniettiva: se ogni retta orizzontale che traccio interseca il grafico in un solo punto
- suriettiva: se non esiste nessuna retta che non interseca il grafico
Quindi, in un esempio:
$ f(x) = log x $ definita in $ (1; +oo) $
il grafico risulta essere:
La linea rossa mostra chiaramente che la funzione non è suriettiva! Eppure sembra proprio esserlo, tanto che l'inversa della funzione logaritmo è la funzione esponenziale... Perchè? Ho sbagliato qualcosa nel tracciare il dominio nel grafico?
- iniettiva: se ogni retta orizzontale che traccio interseca il grafico in un solo punto
- suriettiva: se non esiste nessuna retta che non interseca il grafico
Quindi, in un esempio:
$ f(x) = log x $ definita in $ (1; +oo) $
il grafico risulta essere:
La linea rossa mostra chiaramente che la funzione non è suriettiva! Eppure sembra proprio esserlo, tanto che l'inversa della funzione logaritmo è la funzione esponenziale... Perchè? Ho sbagliato qualcosa nel tracciare il dominio nel grafico?
"erroreconcettuale":
Credo di avere dei grossi problemi riguardanti la comprensione grafica:
- iniettiva: se ogni retta orizzontale che traccio interseca il grafico in un solo punto
- suriettiva: se non esiste nessuna retta che non interseca il grafico
Quindi, in un esempio:
$ f(x) = log x $ definita in $ (1; +oo) $
il grafico risulta essere:
La linea rossa mostra chiaramente che la funzione non è suriettiva! Eppure sembra proprio esserlo, tanto che l'inversa della funzione logaritmo è la funzione esponenziale... Perchè? Ho sbagliato qualcosa nel tracciare il dominio nel grafico?
Interseca il grafico AL PIU' in un punto
Quanto ai tuoi dubbi sulla suriettività, tieni conto che NON stai considerando il logaritmo, ma la sua RESTRIZIONE a $(1; +oo)$
Se consideri che l'immagine di $log(x)$, per $x \in (1,+\infty)$, è $J=(0,+infty)$, allora la funzione $f: (1,+\infty) \rarr (0,+infty), \quad x \mapsto \log(x)$, è pure suriettiva.
L'iniettività segue dalla monotonia di $f$, visto che $f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \quad \forall x \in (1,\+infty)$ e la suriettività viene dritta dritta dalla definizione e ancora osservando l'immagine della funzione e la sua monotonia. Puoi tracciare il grafico e osservare che ogni retta parallela all'asse $y$ interseca il grafico almeno una volta.
Infatti,dato $a \in J$, esiste $\bar(x)$ t.c. $f(\bar(x))=a$, e questo $\bar(x)$ è dato proprio da $e^a$. Abbiamo quindi costruito la $\bar(x)$ come richiesto.
Grazie @Fioravante
L'iniettività segue dalla monotonia di $f$, visto che $f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \quad \forall x \in (1,\+infty)$ e la suriettività viene dritta dritta dalla definizione e ancora osservando l'immagine della funzione e la sua monotonia. Puoi tracciare il grafico e osservare che ogni retta parallela all'asse $y$ interseca il grafico almeno una volta.
Infatti,dato $a \in J$, esiste $\bar(x)$ t.c. $f(\bar(x))=a$, e questo $\bar(x)$ è dato proprio da $e^a$. Abbiamo quindi costruito la $\bar(x)$ come richiesto.
Grazie @Fioravante
"feddy":
Se consideri che l'immagine di $log(x)$, per $x \in (1,+\infty)$, è $J=(0,+infty)$, allora la funzione $f: (1,+\infty) \rarr (0,+infty), \quad x \mapsto \log(x)$, è pure suriettiva.
L'iniettività segue dalla monotonia di $f$, visto che $f'(x) = \frac{1}{x} > 0 \quad \forall x \in (1,\+infty)$ e la suriettività viene dritta dritta dalla definizione e ancora osservando l'immagine della funzione e la sua monotonia. Puoi tracciare il grafico e osservare che ogni retta parallela all'asse $y$ interseca il grafico almeno una volta.
Infatti,dato $a \in J$, esiste $\bar(x)$ t.c. $f(\bar(x))=a$, e questo $\bar(x)$ è dato proprio da $e^a$. Abbiamo quindi costruito la $\bar(x)$ come richiesto.
Grazie @Fioravante
Grazie de che? Anzi, scusa se mi sono intrufolato in questa "corrispondenza".
In tema, non mi convince quello che dici all'inizio:
"Se consideri che l'immagine di $log(x)$, per $x \in (1,+\infty)$, è $J=(0,+infty)$, allora la funzione $f: (1,+\infty) \rarr (0,+infty), \quad x \mapsto \log(x)$, è pure suriettiva"
che è come dire:
"tutti i peperoni gialli sono gialli".
Voglio dire, qualunque funzione $f:A->B$ sarà sempre suriettiva se $B = f(A)$. Mentre di solito ciò che si vuol sapere è, data $f:A->B$, se è vero o no che $B=f(A)$. Ora, nell'esempio in specie, è solo detto di considerare la restrizione del logaritmo a $(1,+infty)$, nulla è detto del codominio che, quindi, per me è $RR$ come è di default se si sta lavorando con funzioni reali di variabile reale.
"Fioravante Patrone":
Quanto ai tuoi dubbi sulla suriettività, tieni conto che NON stai considerando il logaritmo, ma la sua RESTRIZIONE a $(1; +oo)$
Per quello: nella funzione logaritmo senza restrizioni, non esiste nessuna retta orizzontale che non interseca il grafico. Con la restrizione, effettivamente esiste una retta (quella che ho tracciato in rosso) che non interseca il grafico. Per definizione la funzione dovrebbe non essere suriettiva!
Nessun problema, il tuo intervento è ben accetto e ha evidenziato una mia assunzione troppo stretta Nella fretta credevo che lo spirito dell'esercizio fosse restringere il codominio all'immagine, e rileggendo ora la richiesta devo dire che hai perfettamente ragione.
Nella fretta credevo che lo spirito dell'esercizio fosse restringere il codominio all'immagine, e rileggendo ora la richiesta devo dire che hai perfettamente ragione.
@erroreconcettuale
anche senza fare il disegno, rileggi il posto di Fioravante. Parafrasandolo: "E' vero o no che $R= f( I), \quad I=(1,+\infty)$ ? ", da cui la risposta sulla suriettività è immediata
anche senza fare il disegno, rileggi il posto di Fioravante. Parafrasandolo: "E' vero o no che $R= f( I), \quad I=(1,+\infty)$ ? ", da cui la risposta sulla suriettività è immediata
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