Biduale
Vorrei chiarire una questione, su cui non sono del tutto convinto.
Se [tex]X[/tex] è uno spazio normato non completo, il biduale [tex]X''[/tex] è il completamento di [tex]X[/tex]?
Da come ho capito, si mostra che l'immagine di [tex]X[/tex] tramite l'immersione canonica è densa in [tex]X''[/tex], [tex]X''[/tex] è chiaramente completo (come campo degli scalari si considera solo quello reale o complesso) e inoltre dal teorema di Banach-Steinhaus segue che [tex]X[/tex] è isometrico alla propria immagine tramite l'immersione canonica. A me sembra che i conti tornino, ma una conferma non guasta.
Se [tex]X[/tex] è uno spazio normato non completo, il biduale [tex]X''[/tex] è il completamento di [tex]X[/tex]?
Da come ho capito, si mostra che l'immagine di [tex]X[/tex] tramite l'immersione canonica è densa in [tex]X''[/tex], [tex]X''[/tex] è chiaramente completo (come campo degli scalari si considera solo quello reale o complesso) e inoltre dal teorema di Banach-Steinhaus segue che [tex]X[/tex] è isometrico alla propria immagine tramite l'immersione canonica. A me sembra che i conti tornino, ma una conferma non guasta.
Risposte
Ma sei sicuro che l'immagine di $X$ mediante l'immersione canonica sia densa in $X''$? Mi pare molto strano.
Mi spiego: chiamiamo $J : X \to X''$ l'immersione canonica. Si tratta di un operatore lineare isometrico (in particolare è ingettivo). Ora supponiamo che la tua affermazione sia vera e che $X$ sia uno spazio di Banach. Essendo $J$ isometrico, $J(X)$ è un sottospazio completo di $X''$, quindi in particolare $J(X)$ è chiuso; come conseguenza della tua affermazione, $J(X)=X''$. Quindi avremmo dimostrato che tutti gli spazi di Banach sono riflessivi, mentre sappiamo che ciò è falso (ad esempio $L^1(RR)$ o $C [0, 1]$ non sono riflessivi).
Mi spiego: chiamiamo $J : X \to X''$ l'immersione canonica. Si tratta di un operatore lineare isometrico (in particolare è ingettivo). Ora supponiamo che la tua affermazione sia vera e che $X$ sia uno spazio di Banach. Essendo $J$ isometrico, $J(X)$ è un sottospazio completo di $X''$, quindi in particolare $J(X)$ è chiuso; come conseguenza della tua affermazione, $J(X)=X''$. Quindi avremmo dimostrato che tutti gli spazi di Banach sono riflessivi, mentre sappiamo che ciò è falso (ad esempio $L^1(RR)$ o $C [0, 1]$ non sono riflessivi).
Infatti il mio dubbio nasceva proprio dal fatto che la completezza di [tex]X[/tex] implica [tex]J(X) = X''[/tex]. Mi sembrava verosimile, anche se strano. Tuttavia non avevo considerato le errate conseguenze riguardo la riflessività.
Sul mio quaderno ho scritto in fretta un paio di righe su questo argomento, perché ne discussi col professore durante una pausa, non trattandosi di argomenti strettamente necessari per l'esame. Puoi chiarirmi le idee riguardo il completamento di [tex]X[/tex]?
Sul mio quaderno ho scritto in fretta un paio di righe su questo argomento, perché ne discussi col professore durante una pausa, non trattandosi di argomenti strettamente necessari per l'esame. Puoi chiarirmi le idee riguardo il completamento di [tex]X[/tex]?
Ci provo.
Un teorema di topologia generale dice che ogni spazio metrico ha un completamento, unico a meno di isometrie. Per completamento si intende una coppia [tex](Y, J)[/tex] formata da uno spazio metrico completo [tex]Y[/tex] e da una applicazione isometrica [tex]J \colon X \to Y[/tex] di immagine densa, ovvero [tex]\overline{J(X)}=Y[/tex]. L'unicità a meno di isometrie si esprime in formule così:
se [tex](Y, J), (Z, K)[/tex] sono due completamenti di [tex]X[/tex], allora esiste una isometria bigettiva [tex]I \colon Y \to Z[/tex] tale che [tex]K = I \circ J[/tex]. (Qui ci vorrebbe un diagramma ma non riesco a disegnarlo
).
In genere si dimostra questo teorema facendo qualcosa di analogo alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri razionali: se ci pensi un attimo, infatti, ti accorgi che il completamento dei numeri razionali è proprio la retta reale. [size=75]Ci sono anche altre dimostrazioni interessanti, però. (*)[/size]
Il teorema parla di spazi metrici, quindi in particolare anche di spazi normati; per questi ultimi si può dimostrare l'esistenza di un completamento nella maniera che notavi tu:
prendiamo [tex]J\colon X \to X''[/tex] l'inclusione canonica, e [tex]Y=\overline{J(X)}\subset X''[/tex]. Siccome [tex]X''[/tex] è sempre uno spazio di Banach, [tex]Y[/tex] è esso stesso uno spazio di Banach e [tex](Y, J)[/tex] è un completamento di [tex]X[/tex].
Resta da mostrare l'unicità a meno di isometrie di questo completamento, cosa che si può fare giocando con un po' di topologia. L'idea è :
se [tex](Z, K)[/tex] è un altro completamento di [tex]X[/tex], allora sia [tex]Z[/tex] sia [tex]Y[/tex] contengono una copia di [tex]X[/tex] come sottoinsieme denso. Mettendo in corrispondenza biunivoca queste due copie si ottiene una isometria bigettiva da una parte densa di [tex]Y[/tex] su una parte densa di [tex]Z[/tex], e si dimostra che una applicazione di questo genere si può prolungare in un unico modo ad una isometria bigettiva da [tex]Y[/tex] su [tex]Z[/tex].
Spero di essere stato sufficientemente chiaro; si tratta di idee molto interessanti che spero di non aver seppellito sotto troppa tecnica. In questo ambito è facilissimo mettersi a fare i formalisti e nascondere così le idee di fondo.
_______________________________________________
[size=75](*)[/size] Una in particolare l'ho trovata su un libro di Serge Lang. Lui nota che è sempre possibile trovare, come completamento di uno spazio metrico, un sottoinsieme chiuso di uno spazio di Banach. Quindi conclude che ogni spazio metrico è, a meno di isometrie, un sottoinsieme di uno spazio normato, e che quindi non è una gran perdita di generalità limitarsi a studiare gli spazi normati, anziché gli spazi metrici.
Un teorema di topologia generale dice che ogni spazio metrico ha un completamento, unico a meno di isometrie. Per completamento si intende una coppia [tex](Y, J)[/tex] formata da uno spazio metrico completo [tex]Y[/tex] e da una applicazione isometrica [tex]J \colon X \to Y[/tex] di immagine densa, ovvero [tex]\overline{J(X)}=Y[/tex]. L'unicità a meno di isometrie si esprime in formule così:
se [tex](Y, J), (Z, K)[/tex] sono due completamenti di [tex]X[/tex], allora esiste una isometria bigettiva [tex]I \colon Y \to Z[/tex] tale che [tex]K = I \circ J[/tex]. (Qui ci vorrebbe un diagramma ma non riesco a disegnarlo
).In genere si dimostra questo teorema facendo qualcosa di analogo alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri razionali: se ci pensi un attimo, infatti, ti accorgi che il completamento dei numeri razionali è proprio la retta reale. [size=75]Ci sono anche altre dimostrazioni interessanti, però. (*)[/size]
Il teorema parla di spazi metrici, quindi in particolare anche di spazi normati; per questi ultimi si può dimostrare l'esistenza di un completamento nella maniera che notavi tu:
prendiamo [tex]J\colon X \to X''[/tex] l'inclusione canonica, e [tex]Y=\overline{J(X)}\subset X''[/tex]. Siccome [tex]X''[/tex] è sempre uno spazio di Banach, [tex]Y[/tex] è esso stesso uno spazio di Banach e [tex](Y, J)[/tex] è un completamento di [tex]X[/tex].
Resta da mostrare l'unicità a meno di isometrie di questo completamento, cosa che si può fare giocando con un po' di topologia. L'idea è :
se [tex](Z, K)[/tex] è un altro completamento di [tex]X[/tex], allora sia [tex]Z[/tex] sia [tex]Y[/tex] contengono una copia di [tex]X[/tex] come sottoinsieme denso. Mettendo in corrispondenza biunivoca queste due copie si ottiene una isometria bigettiva da una parte densa di [tex]Y[/tex] su una parte densa di [tex]Z[/tex], e si dimostra che una applicazione di questo genere si può prolungare in un unico modo ad una isometria bigettiva da [tex]Y[/tex] su [tex]Z[/tex].
Spero di essere stato sufficientemente chiaro; si tratta di idee molto interessanti che spero di non aver seppellito sotto troppa tecnica. In questo ambito è facilissimo mettersi a fare i formalisti e nascondere così le idee di fondo.
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[size=75](*)[/size] Una in particolare l'ho trovata su un libro di Serge Lang. Lui nota che è sempre possibile trovare, come completamento di uno spazio metrico, un sottoinsieme chiuso di uno spazio di Banach. Quindi conclude che ogni spazio metrico è, a meno di isometrie, un sottoinsieme di uno spazio normato, e che quindi non è una gran perdita di generalità limitarsi a studiare gli spazi normati, anziché gli spazi metrici.
Sei stato molto chiaro e ti ringrazio per l'impegno profuso.
Quindi se ho capito bene il completamento di [tex]X[/tex] è [tex]\overline{J(X)}[/tex]?
Quindi se ho capito bene il completamento di [tex]X[/tex] è [tex]\overline{J(X)}[/tex]?
Lo spazio [tex]$c_0:=\{ x=(x_n) \subseteq \mathbb{R} :\ x_n\to 0\}$[/tex] è di Banach se normato con la norma del massimo [tex]$||x||_\infty :=\max_n |x_n|$[/tex].
Si può provare che [tex]$(c_0)^* =\ell^1:=\left\{ y=(y_n)\in \subseteq \mathbb{R} :\ \sum_{n=1}^{+\infty} |y_n| <+\infty \right\}$[/tex] e che la norma duale coincide con la norma naturale di [tex]$\ell^1$[/tex], ossia [tex]$||y||_1:=\sum_{n=1}^{+\infty} |y_n|$[/tex].
D'altra parte si prova che [tex]$(\ell^1)^* =\ell^\infty :=\{ z=(z_n)\subseteq \mathbb{R} : \sup_n |z_n| <+\infty \}$[/tex] con la norma duale che coincide con la norma naturale di [tex]$\ell^\infty$[/tex], cioè [tex]$||z||_\infty :=\sup_n |z_n|$[/tex].
Infine si ha [tex]$J(c_0) =c_0$[/tex] (infatti [tex]$c_0$[/tex] è completo rispetto alla norma di [tex]$\ell^\infty$[/tex] ed è il più piccolo sottospazio completo di [tex]$\ell^\infty$[/tex] in cui immergere [tex]$c_0$[/tex] isometricamente e con densità) epperò [tex]$c_0$[/tex] è un sottospazio chiuso proprio di [tex]$\ell^\infty$[/tex].
Quindi [tex]$c_0$[/tex] non è riflessivo ed ha [tex]$J(c_0)=c_0 \subset \ell^\infty=(c_0)^{**}$[/tex].
Si può provare che [tex]$(c_0)^* =\ell^1:=\left\{ y=(y_n)\in \subseteq \mathbb{R} :\ \sum_{n=1}^{+\infty} |y_n| <+\infty \right\}$[/tex] e che la norma duale coincide con la norma naturale di [tex]$\ell^1$[/tex], ossia [tex]$||y||_1:=\sum_{n=1}^{+\infty} |y_n|$[/tex].
D'altra parte si prova che [tex]$(\ell^1)^* =\ell^\infty :=\{ z=(z_n)\subseteq \mathbb{R} : \sup_n |z_n| <+\infty \}$[/tex] con la norma duale che coincide con la norma naturale di [tex]$\ell^\infty$[/tex], cioè [tex]$||z||_\infty :=\sup_n |z_n|$[/tex].
Infine si ha [tex]$J(c_0) =c_0$[/tex] (infatti [tex]$c_0$[/tex] è completo rispetto alla norma di [tex]$\ell^\infty$[/tex] ed è il più piccolo sottospazio completo di [tex]$\ell^\infty$[/tex] in cui immergere [tex]$c_0$[/tex] isometricamente e con densità) epperò [tex]$c_0$[/tex] è un sottospazio chiuso proprio di [tex]$\ell^\infty$[/tex].
Quindi [tex]$c_0$[/tex] non è riflessivo ed ha [tex]$J(c_0)=c_0 \subset \ell^\infty=(c_0)^{**}$[/tex].
@Kroldar: Si, hai capito bene. O meglio: quello è un completamento, che poi è essenzialmente unico, e quindi diciamo il completamento. Se ti dovessero servire ulteriori informazioni la solita dispensa di Gilardi contiene un intero paragrafo sull'argomento: è il terzo del secondo capitolo.
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