Beta e gamma di Eulero
La beta e la Gamma di Eulero sono integrali generalizzati. Ma in quali casi convergono???
Risposte
La gamma di Eulero converge per $x>0$ reale o - estendendola al piano complesso - per $Re(z)>0$.
In altri casi avrei linkato wikipedia, in questo caso però non lo faccio perché la stessa non si sofferma su queste questioni "estetiche" definendo la Gamma e andando subito a delle formule alternative (wiki inglese perde anche un po' di tempo sulle questioni storiche, ma alla fine se non importa, non cambia la faccenda).
Segnalo inoltre che nella sezione "pensare un po' di più", si trovano molti thread dedicati alla funzione $\Gamma$ e a delle particolari proprietà (per la maggior parte di Delirium - che saluto
).
In seguito dalla definizione si possono fare prolungamenti analitici di tutti i gusti (es. Formula di Riflessione), ma questa è un'altra storia...
In altri casi avrei linkato wikipedia, in questo caso però non lo faccio perché la stessa non si sofferma su queste questioni "estetiche" definendo la Gamma e andando subito a delle formule alternative (wiki inglese perde anche un po' di tempo sulle questioni storiche, ma alla fine se non importa, non cambia la faccenda).
Segnalo inoltre che nella sezione "pensare un po' di più", si trovano molti thread dedicati alla funzione $\Gamma$ e a delle particolari proprietà (per la maggior parte di Delirium - che saluto
).In seguito dalla definizione si possono fare prolungamenti analitici di tutti i gusti (es. Formula di Riflessione), ma questa è un'altra storia...
ho cercato dappertutto, ma a me servono semplicemente COME integrali, non mi serve sapere che sono usate nel campo complesso ecc. soltanto quando entrambe convergono, e magari come usare le loro proprietà per calcolare l'integrale. stop!
C'è scritto!
"miry77":
ho cercato dappertutto, ma a me servono semplicemente COME integrali, non mi serve sapere che sono usate nel campo complesso ecc. soltanto quando entrambe convergono, e magari come usare le loro proprietà per calcolare l'integrale. stop!
Calma.
Questo, per quanto possa sembrare "difficile", è un banale esercizio di Analisi I sulla sommabilità.
Innanzitutto, scrivi la definizione delle due funzioni; poi, applica i criteri di convergenza per gli integrali impropri.
Direi così:
$ Gamma (x)=int_(0 )^(oo )e^-yy^(x-1) dy. $
Dividiamo l'integrale in due parti:
$ int_(0 )^(1 )e^-yy^(x-1) dy $ e $ int_(1 )^(oo )e^-yy^(x-1) dy. $
Il primo integrale è improprio se e solo se x è in (0,1). Per dimostrarne la convergenza basta notare che:
$ lim_(x -> oo ) e^-yy^(x-1)/(1/y^(1-x))=1. $
Quindi, dato che
$ int_(0)^1dy/y^(1-x)< +oo $ per ogni x in (0,1),
la funzione $ e^yy^(x-1) $ è integrabile in (0,1].
Per l'altro integrale (usiamo il confronto asintotico), dato che, per ogni x positivo,
$ lim_(y -> oo) (e^yy^(x-1))/(1/y^2)=0 $ ,
l'ntegrabilità di $1/ y^2 $ in $ [1,+oo ) $ implica quella di $ e^yy^(x-1) $ .
$ Gamma (x)=int_(0 )^(oo )e^-yy^(x-1) dy. $
Dividiamo l'integrale in due parti:
$ int_(0 )^(1 )e^-yy^(x-1) dy $ e $ int_(1 )^(oo )e^-yy^(x-1) dy. $
Il primo integrale è improprio se e solo se x è in (0,1). Per dimostrarne la convergenza basta notare che:
$ lim_(x -> oo ) e^-yy^(x-1)/(1/y^(1-x))=1. $
Quindi, dato che
$ int_(0)^1dy/y^(1-x)< +oo $ per ogni x in (0,1),
la funzione $ e^yy^(x-1) $ è integrabile in (0,1].
Per l'altro integrale (usiamo il confronto asintotico), dato che, per ogni x positivo,
$ lim_(y -> oo) (e^yy^(x-1))/(1/y^2)=0 $ ,
l'ntegrabilità di $1/ y^2 $ in $ [1,+oo ) $ implica quella di $ e^yy^(x-1) $ .
Ho un po' barato, l'ho fatto solo in R, in C non lo zo fare
Come si fa in C? Non ho mai seguito variabile complessa 
Asciugate le mie lacrime.
[xdom="gugo82"]Non asciugo un bel niente; anzi, chiudo per 24h causa eccesso di "up".
Se ne riparlerà domani notte.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Non asciugo un bel niente; anzi, chiudo per 24h causa eccesso di "up".
Se ne riparlerà domani notte.[/xdom]
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